zyklische Gruppe, Primzahl < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Ist p eine primzahl und G eine Gruppe der Ordnung |G| =p, so ist G eine zyklische Gruppe. (und daher isomorph zur Gruppe [mm] \IZ_p) [/mm] |
Hallo,
Zu der Aufgabe hatte ich erst gar keine Idee, bekam aber vom Professor den Tipp es mit Lagrange zu probieren und hier ist mein verusch:
Sei g [mm] \in [/mm] G mit g [mm] \not=e
[/mm]
(so ein element muss es geben da die triviale Gruppe ordnung 1 hätte und 1 ist keine Primzahl)
Sei H das Erzeugnis von g. H = <g>. ich bin mir nicht sicher, aber ist H dann eine Untergrupe von G ?Und Warum???
Wenn es so ist dann gilt nach Lagrange : |H| Teiler von p = |G|
Da |H| > 1 , und p prim ist folgt |H| =p
Nun weiß ich |H|=|G|.
Da komme ich dann nicht weiter.
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Hi,
> Beweisen Sie: Ist p eine primzahl und G eine Gruppe der
> Ordnung |G| =p, so ist G eine zyklische Gruppe. (und daher
> isomorph zur Gruppe [mm]\IZ_p)[/mm]
> Hallo,
> Zu der Aufgabe hatte ich erst gar keine Idee, bekam aber
> vom Professor den Tipp es mit Lagrange zu probieren und
Der Tipp ist natürlich gut.
> hier ist mein verusch:
>
> Sei g [mm]\in[/mm] G mit g [mm]\not=e[/mm]
> (so ein element muss es geben da die triviale Gruppe
> ordnung 1 hätte und 1 ist keine Primzahl)
> Sei H das Erzeugnis von g. H =<g>. ich bin mir nicht
> sicher, aber ist H dann eine Untergrupe von G ?Und
> Warum???
Ja [mm] $H\leq [/mm] G$ ist Untergruppe.
Anders aufgeschrieben ist [mm] $H=\langle g\rangle [/mm] = [mm] \{k\cdot g\; |\; 0\leq k
In H stehen alle Vielfachen (für additive Schreibweise) von dem Element g. Damit erzeugt das Element g eine Gruppe H (insbesondere eine Untergruppe - Gruppenaxiome nachrechnen, wenn das nicht klar ist).
Denn : H ist nicht leer und eine Teilmenge von G. Für [mm] $a,b\in [/mm] H$ gibt es [mm] $i,j\in\IN$ [/mm] mit [mm] $a=i\cdot [/mm] g$ und [mm] $b=j\cdot [/mm] g$. Also ist $a+ [mm] b=\ldots \in [/mm] H$
H ist zyklisch mit der Ordnung von g.
> Wenn es so ist dann gilt nach Lagrange : |H| Teiler von p
> = |G|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da |H| > 1 , und p prim ist folgt |H| =p
Genau!
> Nun weiß ich |H|=|G|.
> Da komme ich dann nicht weiter.
Damit hast du ein Element [mm] $g\in [/mm] G$ gefunden, welches die ganze Gruppe G erzeugt. Damit lässt sich G schreiben als [mm] $G=\langle [/mm] g [mm] \rangle$. [/mm] Und somit ist G zyklisch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Ah danke.
> Denn : H ist nicht leer und eine Teilmenge von G. Für $ [mm] a,b\in [/mm] H $ gibt es $ [mm] i,j\in\IN [/mm] $ mit $ [mm] a=i\cdot [/mm] g $ und $ [mm] b=j\cdot [/mm] g $.
Also ist $ a+ b=ig + jg = (i+j)*g [mm] \in [/mm] H $
Und wie ist das mit der Abgeschlossenheit des Inversen?
Für a [mm] \in [/mm] H gibt es ein i [mm] \in \IN [/mm] mit a= i * g
ZuZeigen [mm] a^{-1} \in [/mm] H. Wie mach ich das?
LG
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> Ah danke.
> > Denn : H ist nicht leer und eine Teilmenge von G. Für
> [mm]a,b\in H[/mm] gibt es [mm]i,j\in\IN[/mm] mit [mm]a=i\cdot g[/mm] und [mm]b=j\cdot g [/mm].
> Also ist [mm]a+ b=ig + jg = (i+j)*g \in H[/mm]
> Und wie ist das mit
> der Abgeschlossenheit des Inversen?
> Für a [mm]\in[/mm] H gibt es ein i [mm]\in \IN[/mm] mit a= i * g
> ZuZeigen [mm]a^{-1} \in[/mm] H. Wie mach ich das?
>
Das ist zwar eigentlich nicht unbedingt Bestandteil der Aufgabe. Aber es ist gut sich das klar zu machen.
Sei [mm]e=0\cdot g[/mm] das neutrale Element und sei [mm]a=ig[/mm] beliebig. Wir definieren [mm]b:=jg[/mm] für ein [mm]j\in \IN[/mm] mit [mm]j=[/mm] ein passender Wert (welcher?).
Dann ist [mm]a+b=ig+jg=(i+j)g=0g=e[/mm] das neutrale Element.
Also haben wir für jedes beliebiges Element [mm]a\in G[/mm] mit [mm]b\in G[/mm] ein inverses Element gefunden.
Frage: Was ist j?
[mm]H=\{i\cdot g\;|\; 0\leq i
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 09.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo
Ich hätte ja zuerst gesagt j=-i.
Aber als du $ [mm] H=\{i\cdot g\;|\; 0\leq i
Wie sollte aber sonst j gewählt werden sodass :i+j=0 sein?
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> Hallo
> Ich hätte ja zuerst gesagt j=-i.
Das stimmt.
> Aber als du [mm]H=\{i\cdot g\;|\; 0\leq i
> aufgeschrieben hast, ist dann ja j nicht in den
> natürlichen zahlen.
Man kann i immer so wählen.
> Wie sollte aber sonst j gewählt werden sodass :i+j=0
> sein?
Es gilt doch [mm]p\cdot g=0\cdot g=e[/mm] (g ist ein Element der Ordnung p.). Also ist [mm](-i) \cdot g=0+(-i) \cdot g=p\cdot g +(-i) \cdot g=(p-i)\cdot g[/mm].
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