zyklische Gruppe der Ordnung n < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | Sei (G,∗) eine zyklische Gruppe der Ordnung n .
Beweisen Sie: Ist k ∈ [mm] \IN [/mm] ein Teiler von n , dann hat G eine Untergruppe der Ordnung k |
ich hab mir folgendes überlegt.
Bew.: Sei k * d = n , also k ein Teiler von n und d der Komplementärteiler. Dann erzeugt das Element [mm] a^{k} [/mm] eine zyklische Untergruppe der Ordnung k und es gilt die Gleichung k * d = n = kgV(d, n) . Angenommen es gibt noch eine weitere Untergruppe V der Ordnung k. Diese enthalte [mm] a^{j} [/mm] als Potenz mit kleinstem positivem Exponenten j. Dann besteht V genau aus den k verschiedenen Potenzen [mm] a^{x} [/mm] mit den Exponenten j, 2j, 3j, ... kj und es ist kj = n = kgV(j, n) . Daher folgt sofort d = j und damit die Eindeutigkeit der Untergruppe von Ordnung k.
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> Sei (G,∗) eine zyklische Gruppe der Ordnung n .
> Beweisen Sie: Ist k ∈ [mm]\IN[/mm] ein Teiler von n , dann
> hat G eine Untergruppe der Ordnung k
> ich hab mir folgendes überlegt.
>
Hallo,
mit zyklischen Untergruppen bist Du auf der richtigen Spur.
> Bew.: Sei k * d = n , also k ein Teiler von n und d der
> Komplementärteiler. Dann erzeugt das Element [mm]a^{k}[/mm] eine
> zyklische Untergruppe der Ordnung k
Bist Du Dir wirkich sicher?
Welche Elemente erhält die von [mm] a^k [/mm] erzeugte Gruppe, wie kommst Du darauf, daß sie die Ordnung k hat?
Was ist eigentlich [mm] (a^k)^n?
[/mm]
> Angenommen es gibt noch
> eine weitere Untergruppe V der Ordnung k. Diese enthalte
> [mm]a^{j}[/mm] als Potenz mit kleinstem positivem Exponenten j. Dann
> besteht V genau aus den k verschiedenen Potenzen [mm]a^{x}[/mm] mit
> den Exponenten j, 2j, 3j, ... kj und es ist kj = n
Warum eigentlich?
Gruß v. Angela
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