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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Sa 11.11.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | | zeige, dass die additive Gruppe [mm] \IQ [/mm] nicht zyklisch ist und folgere daraus, dass [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IZ [/mm] nicht isomorph sind. |
Hallo!!
Ich habe beim Lösen dieser Aufgabe einige Schwierigkeiten, wo ich nicht weiterkomme bzw. nicht weiter weiß.
ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
zunächst einmal ist doch allgemein def.:
Sei G eine zyklische Gruppe. Dann gilt:
G [mm] \cong \IZ [/mm] falls [mm] Ord(G)=\infty
[/mm]
G [mm] \cong \IZ/m\IZ [/mm] falls [mm] Ord(G)=m<\infty.
[/mm]
die Ordnung von G ist doch [mm] Ord(G)=|G|=\infty.
[/mm]
Also müsste der erste fall der Def. [mm] (\IQ [/mm] und [mm] \IZ [/mm] isomorph) gelten.
nun zeige ich aber, dass [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IZ [/mm] nicht isomorph sind. daraus würde folgen, dass die additive Gruppe [mm] \IQ [/mm] nicht zyklisch ist.(umkehrschluss)
mein problem liegt aber nun darin zu zeigen, dass [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IZ [/mm] nicht isomorph sind.
wie definiere ich den dazugehörigen isomorphismus?
g: [mm] (\IQ,+) \to (\IZ,+)
[/mm]
g(a+b) = a+b
stimmt das so?
ich zeige nun, dass g ein homomorphismus ist:
g(a+b) = g(a) + g(b)
g(a+b) = a+b
g(a)=g(a+0)=a
g(b)=g(b+0)=b
aber (a+b) sind nach der def. dieses isomorphismus nicht immer aus [mm] \IZ.
[/mm]
wie zeige ich, dass [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IZ [/mm] nicht isomorph sind?
so würde ich die andere richtung beweisen.
wie beweise ich aber zuerst, dass [mm] (\IQ,+) [/mm] nicht zyklisch ist, und folgere daraus, dass [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IZ [/mm] nicht isomorph sind?
ich hoffe, ihr versteht, was ich meine und könnt mir weiterhelfen! danke!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 So 12.11.2006 | | Autor: | Binie |
Hi VHN
Angenommen [mm] \IQ [/mm] sei zyklisch, dass heißt [mm] \exists q=\bruch{c}{d} \in \IQ [/mm] mit:
jedes [mm] \bruch{a}{b} [/mm] lässt sich schreiben als [mm] n*\bruch{c}{d} [/mm] (mit n,c,d [mm] \in \IZ) [/mm] das muss also auch im Spezialfall gelten, wenn b und d teilerfremd sind und a=1, also nehmen wir genau das an, d.h. ggt(b,d) = 1 [mm] \rightarrow [/mm] 1 = [mm] \lambda*d+\mu*b [/mm] (mit [mm] \lambda,\mu \in \IZ)
[/mm]
hieraus folgt d = [mm] \bruch{1-\mu*b}{\lambda} [/mm]
nun setzte das in die Ausgangsannahme ein:
[mm] \bruch{1}{b} [/mm] = [mm] n*\bruch{c*\lambda}{1-\mu*b} [/mm] mit ein wenig Umformen folgt: [mm] n*\lambda*c+\mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{b} [/mm]
Die linke Seite liegt komplett in [mm] \IZ, [/mm] die recht sicher nicht und das ist ein Widerspruch
[mm] \Rightarrow [/mm] nicht alle Brüche lassen sich durch nur ein q darstellen [mm] \Rightarrow \IQ [/mm] ist nicht zyklisch.
Für den Rest der Aufgabe fehlt mir grad die Zeit.
Wie immer bin ich dankbar für Verbesserungen. Liebe Grüße Binie
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