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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Do 18.10.2007 | | Autor: | Felica |
| Aufgabe | (Z,*) mit a*b=a+b-k
Bestimmen Sie die von 8 erzeugte zyklische Untergruppe <8> |
Hallo,
dies ist das erste Mal, dass ich an ein Forum schreibe...hoffentlich mache ich keine zu großen Fehler....
Zu obiger Aufgabe gab es folgende Lösung:
[mm] a^n=8n-(n-1)k
[/mm]
<8>={...,-16+3k,-8+2k,k,8,16-k,24-2k,36-3k,...}
Ist es richtig, dass die Angaben zu <8> durch das Einsetzten von Zahlen für n zustande kommen?
Leider ist mir bei dieser Lösung völlig unklar, wie man auf
[mm] a^n=8n-(n-1)k [/mm] kommt.
Bin für jede Erklärung dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (Z,*) mit a*b=a+b-k
> Bestimmen Sie die von 8 erzeugte zyklische Untergruppe
> <8>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die von 8 erzeugte zyklische Gruppe ist ja so definiert:
[mm] <8>:=\{8^n| n\in \IZ}.
[/mm]
Sie umfaßt also alle ganzzahligen Potenzen von 8.
Nun laß uns schauen, was [mm] 8^2 [/mm] ergibt:
[mm] 8^2=8\* [/mm] 8=8+8-k=16-k
[mm] 8^3=8^2\* [/mm] 8=...
Nun mußt Du darüber nachdenken, welches hier das neutrale Element [mm] e=8^0 [/mm] ist.
Es muß ja für alle a [mm] \in \IZ [/mm] gelten: [mm] a=e\* [/mm] a= e+a-k ==> e=...
Nun benötigst Du noch die negativen Potenzen, was nicht schwierig ist, wenn man erstmal [mm] 8^{-1} [/mm] kennt.
Wie erhält man [mm] 8^{-1}? [/mm] Es muß ja gelten [mm] e(0...)=8\*8^{-1}=8+8^{-1}-k, [/mm] also ist [mm] 8^{-1}=...
[/mm]
Hieraus bekommst Du dann die anderennegativen Potenzen.
> Zu obiger Aufgabe gab es folgende Lösung:
>
> [mm]a^n=8n-(n-1)k[/mm]
Hier ist sicher gemeint [mm] 8^n=8n-(n-1)k.
[/mm]
Wenn Du inzwischen alles wie oben berechnet hast, wirst Du wissend mit dem Kopf nicken und sagen: ja, stimmt.
Du könntest es noch per Induktion beweisen, wenn Du "Mathematik für Mathematiker" hörst, MUSST Du es beweisen.
Gruß v. Angela
>
> <8>={...,-16+3k,-8+2k,k,8,16-k,24-2k,36-3k,...}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Do 18.10.2007 | | Autor: | Felica |
> Hier ist sicher gemeint [mm]8^n=8n-(n-1)k.[/mm]
Stimmt, da hatte ich mich vertippt.
Tausend Dank für die gute Erklärung!
Habe auch nicht damit gerechnet, so schnell Antwort zu bekommen! Danke nochmal. 
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