zyklische gruppe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Do 03.06.2010 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
[mm] (\IZ/n\IZ) [/mm] ist zyklisch für jedes [mm] n\in\IN [/mm] |
Hey Leute,
ich versuche mich gerade an obiger Aufgabe, scheiter aber leider :(
Ich würde sagen, dass die Behauptung nicht gilt, finde aber leider kein Gegenbeispiel.
Kann mir bitte einer von euch weiterhelfen?
Gruß
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> Beweisen oder widerlegen Sie:
> [mm](\IZ/n\IZ)[/mm] ist zyklisch für jedes [mm]n\in\IN[/mm]
> Hey Leute,
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> ich versuche mich gerade an obiger Aufgabe, scheiter aber
> leider :(
>
> Ich würde sagen, dass die Behauptung nicht gilt, finde
> aber leider kein Gegenbeispiel.
>
> Kann mir bitte einer von euch weiterhelfen?
>
> Gruß
Hallo AriR
0.) welche Gruppe ist denn nun genau gemeint ?
(additive oder multiplikative ?)
1.) wie kommst du denn zu deiner Vermutung, dass die
Behauptung falsch sei ?
2.) an welchen Eigenschaften einer Zahl n könnte es
denn liegen, ob für dieses n die Gruppe zyklisch
ist oder eben nicht ?
3.) stelle dann für einige ausgewählte n die Gruppen
ausführlich mittels Gruppentafeln dar !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 03.06.2010 | | Autor: | AriR |
Tut mir leid, dass sollte heißen
"Beweisen oder widerlegen Sie:
[mm] (\IZ\/n\IZ)^\* [/mm] ist zyklisch für jedes [mm] n\in\IN [/mm] "
Für die additve Gruppe [mm] \IZ/n\IZ [/mm] ist es recht leicht einzusehen, dass [mm] 1+n\IZ [/mm] erzeuger der Gruppe ist nur für die Multiplikative Gruppe [mm] (\IZ/n\IZ)^\* [/mm] finde ich keinen erzeuger bzw kann nicht zeigen, dass es keinen solchen geben kann :(
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Hallo AriR,
> Tut mir leid, dass sollte heißen
> "Beweisen oder widerlegen Sie:
> [mm](\IZ\/n\IZ)^\*[/mm] ist zyklisch für jedes [mm]n\in\IN[/mm] "
>
> Für die additve Gruppe [mm]\IZ/n\IZ[/mm] ist es recht leicht
> einzusehen, dass [mm]1+n\IZ[/mm] erzeuger der Gruppe ist nur für
> die Multiplikative Gruppe [mm](\IZ/n\IZ)^\*[/mm] finde ich keinen
> erzeuger bzw kann nicht zeigen, dass es keinen solchen
> geben kann :(
Schaue dir mal die Gruppe [mm] $\left(\IZ/15\IZ\right)^{\star}$ [/mm] an.
Welche Ordung hat diese Gruppe?
Dann vergleiche mal mit der Ordnung eines jeden Elementes dieser Gruppe ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Do 03.06.2010 | | Autor: | AriR |
Danke ich habs jetzt :)
Wie bist du auf die 15 gekommen? Kann man sich das ganze irgendwie veranschaulichen? Im Moment erscheint mir das ganze wie vom Himmel gefallen :)
Gruß
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> Danke ich habs jetzt :)
>
> Wie bist du auf die 15 gekommen? Kann man sich das ganze
> irgendwie veranschaulichen? Im Moment erscheint mir das
> ganze wie vom Himmel gefallen :)
es gibt einen Satz, der besagt, dass $\left(\IZ/n\IZ\right)^{\star}$ genau dann zyklisch ist, wenn $n=2, 4, p^k, 2p^k$ mit $p>2$ prim, $k\in\IN$, also ist insbesondere $\left(\IZ/p\IZ\right)^{\star}$ zyklisch.
Und 15 passt nicht in dieses Schema ...
12 wäre wohl die erste Zahl, bei der es schief geht.
Auf die Schnelle bekomme ich, dass $\left(\IZ/12\IZ)^{\star}$ Ordung 4 hat, ihre 4 Elemente aber jeweils Ordungen <4 haben ...
Kannst ja mal nachrechnen ... 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Do 03.06.2010 | | Autor: | AriR |
ach so ok :)
Danke ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Do 03.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Danke ich habs jetzt :)
> >
> > Wie bist du auf die 15 gekommen? Kann man sich das ganze
> > irgendwie veranschaulichen? Im Moment erscheint mir das
> > ganze wie vom Himmel gefallen :)
>
>
> es gibt einen Satz, der besagt, dass
> [mm]\left(\IZ/n\IZ\right)^{\star}[/mm] genau dann zyklisch ist, wenn
> [mm]n=2, 4, p^k, 2p^k[/mm] mit [mm]p>2[/mm] prim, [mm]k\in\IN[/mm], also ist
> insbesondere [mm]\left(\IZ/p\IZ\right)^{\star}[/mm] zyklisch.
>
> Und 15 passt nicht in dieses Schema ...
>
> 12 wäre wohl die erste Zahl, bei der es schief geht.
>
> Auf die Schnelle bekomme ich, dass [mm]\left(\IZ/12\IZ)^{\star}[/mm]
> Ordung 4 hat, ihre 4 Elemente aber jeweils Ordungen <4
> haben ...
das kann man auch alles etwas abstrakter sehen
Ist z.B. $n = p q$ mit zwei verschiedenen Primzahlen $p$ und $q$, die beide ungerade sind, so gilt [mm] $(\IZ/n\IZ)^\ast \cong (\IZ/p\IZ)^\ast \times (\IZ/q\IZ)^\ast$ [/mm] (z.B. chin. Restsatz). Jetzt sind [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast$ [/mm] und [mm] $(\IZ/q\IZ)^\ast$ [/mm] beide zyklisch von der Ordnung $p - 1$ bzw. $q - 1$, also von gerader Ordnung. Und dann gibt's folgendes Resultat:
Sind $C$ und $C'$ zyklisch der Ordnung $a$ bzw. $b$, dann ist $C [mm] \times [/mm] C'$ genau dann zyklisch, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind.
Da $p - 1$ und $q - 1$ beide gerade sind, sind sie also nicht teilerfremd.
(Das Beispiel [mm] $\IZ/12\IZ$ [/mm] kann man genauso anschauen; es ist [mm] $(\IZ/4\IZ)^\ast$ [/mm] zyklisch der Ordnung 2.)
LG Felix
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