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Mathematik des 11. Jahrgangs
Aufgabenblatt 1
Abgabe: Sa 30.11.2013 19:00		10.11.2013
Aufgabe 1
Gegeben ist die ganzrationale Funktion $ f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2\,x^2 - \frac{1}{2}x + 2 $ mit $ x \in \mathbb{R} $.
$ \textbf{a)} $ Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion $ f(x) $ durch und zeichnen Sie den Graphen der Funktion im Intervall $ I = \left[-1,5\,; 4,5\right]\,. $
$ \textbf{b)} $ Die Tangente an die mittlere Nullstelle der Funktion schließt mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck ein. Welchen Flächeninhalt hat dieses und wie lang ist seine Hypotenuse?

Viel Erfolg!

$ \textit{Hinweis:} $ Eine vollständige Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen beinhaltet:
- Definitions- und Wertebereich,
- Nullstellen und Ordinatenabschnitt,
- Symmetrie- und Monotoniebetrachtungen (Monotonie wird häufig auch weggelassen),
- mindestens die ersten beiden Ableitungen,
- Extrema und Wendepunkte,
- Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
- graphische Darstellung der Funktion (und gern auch ihrer Ableitungen).
Aufgabe 2
Diskutieren Sie die Funktion $ f(x) = -x^5 + 2\,x^3 $ mit $ x\in\mathbb{R} $ und zeichnen Sie den Graphen der Funktion im Intervall $ I = \left[-2\,; 2\right]\,. $ Unter welchen Winkeln schneidet der Funktionsgraph die Koordindatenachsen?
Aufgabe 3
Gegeben sei die Funktionsschar $ f_a(x) = -\frac{1}{4\,a}x^4 + \frac{5}{2}x^2 - 2\,a $ mit dem reellen Parameter $ a > 0\,. $

$ \textbf{a)} $ Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion für $ f_a(x) $ durch und zeichnen Sie den Graphen für den Parameter $ a=1,5 $ im Intervall $ I=\left[-5\,;\,5\right] $.
$ \textbf{b)} $ Für welchen Wert von $ a $ geht die Wendenormale im rechten Wendepunkt durch den linken Hochpunkt?
$ \textbf{c)} $ Für welchen Wert von $ a $ stehen die Wendetangenten orthogonal aufeinander?
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