PQFormel

Satz pq-Formel

Die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form
lauten für (dabei nennt man die Diskriminante der quadratischen Gleichung):

In Kurzschreibweise:

für hat die quadratische Gleichung keine relle Lösung.

Bemerkungen.

1.) Die pq-Formel ist ein Speziallfall der allgemeinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

2.) In manchen Fällen führt der Satz von Vieta schneller zur gesuchten Lösung.

3.) heißt Diskriminante. Es gilt damit:
Die Gleichung hat:
- keine reelle Lösung, falls
- genau eine reelle Lösung, falls
- genau zwei reelle Lösungen, falls .

4.) Darunter, dass die Ausdrücke definiert sind, versteht man hier, dass für die Diskriminante gilt. Es gilt nämlich:

(I)  
und (bzw. ) ist (im Reellen) nur für (wohl-)definiert!
(Wegen der Gleichung (I) gelten auch die Aussagen unter der Bemerkung 2.)!)

Beispiele.

1.) Wir suchen die reellen Lösungen der Gleichung .
Zunächst müssen wir uns um den Ausdruck vor dem kümmern, d.h., wir dividieren die Gleichung durch :


.
Durch umschreiben erhalten wir die äquivalente Gleichung:
, d.h. hier ist und .
Mit der p/q-Formel folgt also:



und damit haben wir zwei reelle Lösungen:
;
.

Man beachte auch:
Die Diskriminante hatte hier den Wert .
Mit dem Satz von Vieta hätte man überlegt:

-8 = 2*(-4) und -2 = 2+(-4)

2.) Wir suchen die reellen Lösungen der Gleichung .
Durch umschreiben erhalten wir die äquivalente Gleichung:
, d.h. hier ist und .
Die Diskriminante hat hier also den Wert:
, also hat die Gleichung keine reelle Lösung.

3.) Wir suchen die reellen Lösungen der Gleichung .
Wir formen diese Gleichung etwas um:


 

.
Hier ist also und .
Die Diskriminante hat hier den Wert:
, also hat die Gleichung nur eine reelle Lösung.
Nach der p/q-Formel gilt:


.
Also ist die einzige reelle Lösung der Gleichung .

(Dies kann man auch unmittelbar aus der Gleichung mittels der zweiten binomischen Formel ablesen!)

Beweis.

Der Beweis wird mit einer allgemein durchgeführten quadratischen Ergänzung geführt:

            (Bemerkung: An dieser Stelle erkennen wir wegen
                                                       dass die Gleichung keine reelle Lösung im Falle hat:
                                                       Quadratzahlen von rellen Zahlen sind stets !)