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LHospitalscheRegel

Satz L'Hospitalsche Regeln

1. Regel (Typ "$ \bruch{0}{0} $")
Die Funktionen $ f, g $ seien stetig auf $ [a,b] $ und differenzierbar auf $ ]a,b[ $.
Es sei $ g'(x)\ne0 $ für alle $ x\in]a,b[ $,

Gilt nun $ f(c)=0 $ und $ g(c)=0 $ mit $ c\in]a,b[ $ und existiert $ \limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (einseitig bzw. beidseitig), dann ist
$ \limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $.

Diese Regel gilt übrigens auch für $ c=\pm\infty $ (und entsprechender Vergrößerung des Intervals $ ]a,b[ $ zu $ ]-\infty,b[ $ bzw. $ ]-\infty,\infty[ $ bzw. $ ]-\infty,\infty[=\IR $)

2. Regel (Typ "$ \bruch{\infty}{\infty} $")
Die Funktionen $ f, g $ seien differenzierbar auf $ ]a,b[ $.
Es sei $ f(x),g(x),g'(x)\ne0 $ für alle $ x\in]a,b[ $.

Gilt nun $ \limes_{x\to c}f(x)=\limes_{x\to c}g(x)=\pm\infty $ mit $ c\in]a,b[ $ und existiert $ \limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (einseitig bzw. beidseitig), dann ist
$ \limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $.

Diese Regel gilt übrigens auch für $ c=\pm\infty $ (und entsprechender Vergrößerung des Intervals $ ]a,b[ $ zu $ ]-\infty,b[ $ bzw. $ ]-\infty,\infty[ $ bzw. $ ]-\infty,\infty[=\IR $)

Zusammenfassung
1.
a) $ f(c)=g(c)=0\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (Regel 1)
b) $ \limes_{c\to\pm\infty}f(c)=\limes_{c\to\pm\infty}g(c)=0\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (Regel 1)
2.
a)$ \limes_{x\to c}f(c)=\limes_{x\to c}g(c)=\pm\infty\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (Regel 2)
b)$ \limes_{c\to\pm\infty}f(c)=\limes_{c\to\pm\infty}g(c)=\pm\infty\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (Regel 2)


Bemerkungen.

Die Regel beruht darauf, dass sich Funktionen „in der Nähe" einer Stelle $ x_0 $ durch ihre Tangenten annähern lassen.

Ist (im „Standardfall") $ \lim_{x \to x_0}f(x) = \lim_{x \to x_0}g(x) = 0 $, so lauten die Tangentengleichungen $ y=f'(x_0)\,\cdot(x-x_0) $ und $ y=g'(x_0)\,\cdot(x-x_0) $. Ihr Quotient $ \frac{f'(x_0)\,\cdot(x-x_0)}{g'(x_0)\,\cdot(x-x_0)}\,=\,\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} $ ist also eine Näherung für $ \frac{f(x_0)}{g(x_0)} $.


Beispiele.


1.

Es sei $ f\, $ stetig differenzierbar in einer Umgebung von $ x_0\,. $ Dann liefert die Anwendung von der Regel von de l'Hôpital bei $ \lim_{x \to 0}\frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x} $ nichts anderes als $ f'(x_0): $

   $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(x_0+x)\cdot{}1}{1}=\lim_{x \to 0} f'(x_0+x)=f'(x_0), $

wobei die letzte Gleichheit wegen der Stetigkeit(!) von $ f\,' $(!!) in $ x_0 $ gilt.

Dieses Beispiel wirkt zwar trivial, aber es wird deswegen aufgeführt, weil die Regel von de l'Hôpital oft auch angewendet wird, obwohl man auch ohne sie auskäme. (Der Sinn dieses Beispiels liegt also tatsächlich darin, sich klarzumachen, ob ein gesuchter Grenzwert sich vielleicht nicht auf anderem Wege - hier: mithilfe der Definition der Ableitung an einer Stelle - direkt ergibt).

Wir führen ein Standardbeispiel auf, wo man sogar ohne de l'Hôpital den gesuchten Grenzwert direkt per Definitionem der Ableitung berechnen kann. In der Literatur gängig aufgeführt wird die Berechnung von

   $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\,, $

welche mit de l'Hôpital und der Stetigkeit von $ \cos $ in $ 0\, $ aus

   $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}=\cos(0)=1 $

folgt. Dabei kann man dies mit $ x_0:=0 $ direkt aus

   $ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x_0+x)-\sin(x_0)}{x}=\sin'(x_0)=\cos(x_0) $

erkennen - wegen $ \sin(0)=0 $ ist nämlich

   $ 1=\cos(0)=\sin'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{\sin(0+x)-\sin(0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}. $


Bemerkung:

Man beachte, dass die Differenzierbarkeit von $ f\, $ in $ x_0 $ auch die Stetigkeit von $ f\, $ in $ x_0 $ zur Folge hat, so dass $ f(x_0+x)-f(x_0) \to 0 $ bei $ x \to 0 $ gilt.

2.

Wenn man *nur* weiß, dass $ f\, $ stetig in $ x_0 $ ist, dass $ f\, $ differenzierbar in einer Umgebung von $ x_0 $ ohne $ x_0 $ ist und zudem sei die Differenzierbarkeitsfrage in $ x_0 $ selbst nicht geklärt, so gilt:
Falls

   $ g:=\lim_{x \to 0} f'(x_0+x) $

existiert, so existiert auch $ f'(x_0). $ Denn: Sei $ 0 < |x| < \delta $ mit einem hinreichend kleinen $ \delta > 0, $ so folgt wie oben

   $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(x_0+x)\cdot{}1-0}{1}=\lim_{x \to 0} f'(x_0+x)=g. $

Wegen

   $ f'(x_0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x} $ (wenn der Grenzwert rechterhand existent ist)

folgt dann

   $ f'(x_0)=g. $


Bemerkung:

Insbesondere ist dann also auch $ f\, $ stetig differenzierbar in $ x_0. $

Beweis.

siehe: [link]WikiBooks

Erstellt: Sa 04.09.2004 von Marc
Letzte Änderung: Do 07.08.2014 um 16:02 von Marcel
Weitere Autoren: informix
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