LagrangeSatz von Lagrange
Sei G eine endliche Gruppe und  . Dann gilt:
mit T Links- oder Rechtstransversale von U in G. Insbesondere haben alle Transversalen von U in G gleiche Mächtigkeit.
Diese Anzahl heißt Index von U in G, schreibe |G:U|. Also gilt:
 .
Beweis
T Linkstransversale von U in G   und  .
Wegen |tU|=|U| folgt:
,
denn  . 
Korollar (Kleiner Satz von Fermat)
Sei  nicht durch eine Primzahl p teilbar. Dann gilt:  .
(Beweis: Die Gruppe der invertierbaren Elemente in  hat Ordnung p-1.)
Verallgemeinerung des Satzes
Sind U und V Untergruppen der endlichen Gruppe G mit  , dann gilt
![$ [G : U] = [G : V ] \cdot [V : U] $](/teximg/8/3/02449538.png "$ [G : U] = [G : V ] \cdot [V : U] $") .
Beweis
Wende den Satz von Lagrange mehrfach an und kürze |U| heraus:
![$ |G| = [G:U] \cdot |U| = [G:V] \cdot |V| = [G:V ] \cdot [V:U]\cdot|U| $](/teximg/9/3/02449539.png "$ |G| = [G:U] \cdot |U| = [G:V] \cdot |V| = [G:V ] \cdot [V:U]\cdot|U| $") .
Anwendung
Sei  die symmetrische Gruppe, wobei
 ,  ,  ,
 ,  ,  .
Es ist ord(id)=1,  und  .
Wir bestimmen nun alle Untergruppen von  .
Wegen  hat höchstens Untergruppen der Ordnung 1,2,3 und 6. Die trivialen Untergruppen  bzw. haben Ordnung 1 bzw. 6 und sind einzige Untergruppen dieser Ordnungen.
Elemente der Ordung 2 erzeugen folgende zweielementige Untergruppen, die die einzigen Untergruppen mit Ordung 2 sind:
 ,  und 
Wegen  ist  . Zudem ist V einzige Untergruppe mit Ordnung 3. Denn jede andere Untergruppe mit drei Elementen enthält ein  ,  oder  und ist deshalb Untergruppe der Ordung 2. Nach Lagrange hat sie dann nicht Ordnung 3.
Literatur
isbn9783827430113 C. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra, Springer Spektrum, 2013
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