www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Potenzsumme
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Potenzsumme
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Potenzsumme

Satz Potenzsummenformeln


Schule und Universität

Eine Potenzsumme ist eine Summe der Form

$ 1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k $

Geschlossener Term für bestimmte Potenzsummen:

$ 1+2+3+\ldots+n=\bruch{n(n+1)}{2} $

$ 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} $

$ 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^2 $


Beweis.

Wird im allgemeinen mit vollständiger Induktion geführt.



Auch wenn man es im Internet bestimmt irgendwo nachlesen kann, wollte ich nochmal bemerken, daß man die einfache Summenformel $ 1+2+3+\ldots+n=\bruch{n(n+1)}{2} $ auch ohne Induktion direkt herleiten kann
(Bei den Summenformeln für höhere Potenzen ist das wohl nicht mehr so einfach).


Angenommen wir wüßten für jedes n der Summe

$ \sum_{i=1}^n{i} $

welcher Wert k für diese Summe rauskommen müßte. Dann gilt doch:

$ \sum_{i=1}^n{i} = k $

Und wenn wir nun auf beiden Seiten mit 2 multiplizieren, ändert sich doch auch nichts, oder?

$ 2\sum_{i=1}^n{i} = 2k $

Aber schreiben wir die Summe doch mal aus:

$ \sum_{i=1}^n{i} = 1 + \dotsb + n = n + \dotsb + 1 $

$ = (n + 1- \red{1}) + (n + 1- \red{2}) + \dotsb + n + 1- \red{n}=\sum_{i=1}^n{(n+1-i)} $

Und das war letztlich Gauss' wunderschöne Idee, den nun gilt doch:

$ 2\sum_{i=1}^n{i} = \left(\sum_{i=1}^n{i}\right) + \sum_{i=1}^n{i} = \left(\sum_{i=1}^n{i}\right) + \sum_{i=1}^n{(n+1-i)} $

Und wegen dem Kommutativgesetz der Addition

$ a_1 + b_1 + c_1 + a_2 + b_2 + c_2 = a_1 + a_2 + b_1 + b_2 + c_1 + c_2 $

können wir nun die obigen Summen zusammenfassen:

$ \left(\sum_{i=1}^n{i}\right) + \sum_{i=1}^n{(n+1-i)} = \sum_{i=1}^n{(i+n+1-i)} = \sum_{i=1}^n{(n+1)} = \underbrace{(n+1) + \dotsb + (n+1)}_{n\text{ mal}} = n(n+1) = \red{2k} $

Und jetzt nur noch eine letzte Umformung:

$ n(n+1) = 2k \gdw k = \frac{n(n+1)}{2} $

Das war's.

Erstellt: Do 18.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Mi 22.02.2006 um 21:35 von informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]