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Quotientenregel

Quotientenregel.


Schule


Merkregel:


$ f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x) = \bruch{u'v - v'u}{v²} $


Universität

Hat eine Funktion $ f $ die Form

$ f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)} $ (mit $ f,g,h: M \longrightarrow \IR $, wobei $ M \subseteq \IR $)

und ist $ x_0 $ aus dem Definitionsbereich von $ f $, so gilt, unter den Voraussetzungen, dass $ g $ und $ h $ in $ x_0 $ differenzierbar sind und im Falle $ h(x_0)\not=0 $:
$ f $ ist diff'bar in $ x_0 $ und es gilt

$ f'(x_0)=\bruch{g\,'(x_0)\cdot{}h(x_0)-g(x_0)\cdot{}h'(x_0)}{(h(x_0))^2} $


Beweis

Da $ h $ diff'bar in $ x_0 $ ist, gilt insbesondere, dass $ h $ stetig in $ x_0 $ ist.

(Denn: Sei $ (x_n)_{n \in \IN} $ eine Folge in $ M $ mit $ x_n \to x_0 $ ($ n \to \infty $), $ x_n \not= x_0 $ $ \forall n \in \IN $.
Dann gilt:
$ \lim_{n \to \infty} {(h(x_n)-h(x_0))}=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{h(x_n)-h(x_0)}{x_n-x_0}\cdot{}(x_n-x_0)\right) $

$ =\underbrace{\lim_{n \to \infty} {\left(\frac{h(x_n)-h(x_0)}{x_n-x_0}\right)}}_{=h'(x_0),\,\,da\;h\;diff'bar\;in\;x_0}\cdot{}\underbrace{\lim_{n \to \infty}(x_n-x_0)}_{=0, \,\, da\;x_n \to x_0}=h'(x_0)\cdot{}0=0 $,

also $ h(x_n) \to h(x_0) $ ($ n \to \infty $).)

Sei $ (\hat{x}_n)_{n \in \IN} $ eine Folge in $ M $ mit $ \hat{x}_n \to x_0 $ ($ n \to \infty $), $ \hat{x}_n \not= x_0 $ $ \forall n \in \IN $.
Weil $ \lim_{n \to \infty}{\hat{x}_n}=x_0 $ und weil $ h $ stetig in $ x_0 $ ist, gilt insbesondere:
$ \exists N \in \IN $: $ \forall n \ge N $: $ h(\hat{x}_n)\not=0 $ (beachte: $ h(x_0)\not=0 $).

Es folgt für alle $ n \in \IN $, $ n \ge N $:

$ \frac{f(\hat{x}_n)-f(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}=\frac{\frac{g(\hat{x}_n)}{h(\hat{x}_n)}-\frac{g(x_0)}{h(x_0)}}{\hat{x}_n-x_0} $

$ =\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}\cdot{}\left(\frac{g(\hat{x}_n)h(x_0)-g(x_0)h(\hat{x}_n)}{\hat{x}_n-x_0}\right) $

$ =\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}\cdot{}\left(\frac{[\,g(\hat{x}_n)-g(x_0)]\cdot{}h(x_0)+g(x_0)\cdot{}h(x_0)-g(x_0)h(\hat{x}_n)}{\hat{x}_n-x_0} \right) $

$ =\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}\cdot{}\left(\frac{[\,g(\hat{x}_n)-g(x_0)]\cdot{}h(x_0)-g(x_0)[\,h(\hat{x}_n)-h(x_0)]}{\hat{x}_n-x_0}\right) $

Weil $ g $ und $ h $ diff'bar in $ x_0 \in M $, und weil (siehe oben) $ h $ stetig in $ x_0 $ ist, folgt:
$ \lim_{n \to \infty}{\left(\frac{f(\hat{x}_n)-f(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}\right)} $

$ =\underbrace{\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}}}_{=\frac{1}{h(x_0)\cdot{}h(x_0)}}\cdot{}\left(h(x_0)\cdot{}\underbrace{\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{g(\hat{x}_n)-g(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}\right)}}_{=g\,'(x_0)}-g(x_0)\cdot{}\underbrace{\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{h(\hat{x}_n)-h(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}\right)}}_{=h'(x_0)}\right) $

$ =\frac{g\,'(x_0)h(x_0)-g(x_0)h'(x_0)}{(h(x_0))^2} $                                   

$ \Box $
Erstellt: Di 07.09.2004 von informix
Letzte Änderung: Do 21.12.2006 um 16:52 von Loddar
Weitere Autoren: Hanno, Marc, Marcel
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