TransformationsformelDie Transformationsformel
Beschreibung
Gegeben sei die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung f von den Vektorräumen V nach W
und gesucht ist die Darstellungsmatrix .
Wobei A und C Basen von V und B und D Basen von W sind.
Transformationsformel
Es gilt , wobei und Transformationsmatrizen sind.
Erläuterung
Wenn man ganz rechts einen Vektor v in Basisdarstellung C "hineinsteckt", wird dieser durch einfach nur in Basisdarstellung A gewandelt (es bleibt derselbe Vektor nur zu einer anderen Basis).
Sei ![$ T_{A}^{C}\cdot{}v=v' $ $ T_{A}^{C}\cdot{}v=v' $](/teximg/7/6/00386867.png)
v' ist in Basisdarstellung A und kommt nun an die Darstellungsmatrix , d.h. aus v' wird wobei und zusätzlich in Basisdarstellung B ist.
Letztlich wird durch noch in Basisdarstellung D gewandelt.
D.H insgesamt haben wir eine Abbildung, die einen Vektor bzgl Basis C durch f abbildet und bzgl Basis D ausgibt,
also gerade ![$ M_{D}^{C}(f) $ $ M_{D}^{C}(f) $](/teximg/4/6/00386864.png)
Es gilt also nur und zu bestimmen und das Produkt dann auszurechnen.
einfachere Spezialfälle
Es gibt Situationen, wo man obige Notation vereinfachen kann:
1)
Die darstellende Matrix von f ist gegeben bzgl einer Basis A, also .
Und gesucht ist die darstellende Matrix bzgl einer Basis B, also ![$ M_{B}^{B}(f)=M_B(f) $ $ M_{B}^{B}(f)=M_B(f) $](/teximg/1/7/00386871.png)
Dann muss man nur und bestimmen und das Produkt wie oben entsprechend ausrechnen.
(denn soll ja als Abbildung gerade das inverse von machen - siehe auch Beispiel unten)
2)
Wie eben ist gegeben und gesucht ist , d.h man muss nur bestimmen und ausrechnen, denn die Rücktransformation in Basisgestalt B entfällt.
3) man soll eine Koordinatentransformation berechnen.
einfaches Beispiel
gegeben sei die lin. Abbildung f durch : ![$ f\left(\vektor{x\\y\\z}\right) = \vektor{4(x-y)+7z\\3(x-y)+5z\\2x-y+z} $ $ f\left(\vektor{x\\y\\z}\right) = \vektor{4(x-y)+7z\\3(x-y)+5z\\2x-y+z} $](/teximg/7/7/00386877.png)
dann ist die darstellende Matrix bzgl. der kanonischen Basis
(die Bilder der Basisvektoren von K sind die Spalten der darstellenden Matrix )
gesucht ist nun die darstellende Matrix zur Basis ![$ B=\{ e_{1} , e_{1}+e_{2} , e_{1}+e_{2}+e_{3} \} $ $ B=\{ e_{1} , e_{1}+e_{2} , e_{1}+e_{2}+e_{3} \} $](/teximg/8/4/00391748.png)
(Basisvektoren aus B sind gegeben als Linearkombinationen der Basisvektoren aus K)
also : ausrechnen von :
wenn man den i-ten Basisvektor von B in Basisgestalt B in T reinsteckt, soll der selbe Vektor in Basisgestalt K rauskommen, also wenn man zum Beispiel reinsteckt (dies ist der zweite Basisvektor bzgl Darstellung B)
dann soll rauskommen, denn dies entspricht ja gerade .
Also ist und demnach ![$ T^{-1}=\pmat{1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1} $ $ T^{-1}=\pmat{1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1} $](/teximg/4/2/00419024.png)
(Berechnet schnell nach Gauß-Jordan )
Deshalb ist nun ![$ M_B(f)=T^{-1}\cdot{}M_K(f)\cdot{}T=\pmat{1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1}\cdot{}\pmat{4&-4&7\\3&-3&5\\2&-1&1}\cdot{}\pmat{1&1&1\\0&1&1\\0&0&1}=\pmat{1&0&2\\1&-1&3\\2&1&2} $ $ M_B(f)=T^{-1}\cdot{}M_K(f)\cdot{}T=\pmat{1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1}\cdot{}\pmat{4&-4&7\\3&-3&5\\2&-1&1}\cdot{}\pmat{1&1&1\\0&1&1\\0&0&1}=\pmat{1&0&2\\1&-1&3\\2&1&2} $](/teximg/5/2/00419025.png)
Matheraum Links
ein Beispiel
noch ein Beispiel mit Erklärung zum ersten Spezialfall
guter Artikel (MathePlanet)
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