www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Wie_man_den_Kern_einer_linearen_Abbildung_bestimmt
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Wie_man_den_Kern_einer_linearen_Abbildung_bestimmt
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt

Gegeben sei eine lineare Abbildung $ f: V\to W $ mit $ \dim V=n $ und $ \dim W=m $.

Der Kern einer Abbildung ist ja die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektor $ 0\in W $ abgebildet werden:

$ \Kern(f)=\left\{v\in V\ |\ f(v)=0\right\} $

Hat man bereits die beschreibende Matrix A dieser linearer Abbildung vorliegen (dies ist eine $ m\times n $-Matrix $ A=(a_{ij}) $ (bzgl. einer geeigneten Basis), für die gilt: $ f(v)=A\cdot{}v $ für alle $ v\in V $), so reduziert sich die Bestimmung des Kerns auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems:

$ \Kern(f)=\Kern(A)=\left\{v\in V\ :\ Av=0\right\} $

Das heißt, die Lösungsmenge dieses (homogenen) linearen Gleichungssystems ist zu bestimmen:

$ Av=0 $
$ \gdw\ A\cdot{}\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0} $

$ \gdw\ \pmat{a_{11}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\ldots&a_{mn}}\cdot{}\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0} $

$ \gdw\ \begin{array}{|ccccc} a_{11}\cdot{}v_1&+\ldots+&a_{1n}\cdot{}v_n&=&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}\cdot{}v_1&+\ldots+&a_{mn}\cdot{}v_n&=&0\end{array} $


Beispiele


1. Beispiel die Telefonmatrix von $ \IR^3 $ nach $ \IR^3 $:

$ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} $

Sie hat den Rang 2 daraus bzw. aus der Dimensionsformel, lässt sich schliessen, dass es auch einen Kern gibt.

Erstellt man ein Gleichungssystem mit obigen Schema kommt man auf:

$ v_1+2v_2+3v_3=0 $
$ 4v_1+5v_2+6v_3=0 $
$ 7v_1+8v_2+9v_3=0 $

komplett aufgelöst sieht es so aus:

$ v_1+2v_2+3v_3=0 $
$ -3v_2-6v_3=0 $
$ 0=0 $

Es gibt einen Freiheitsgrad, da wir 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten haben.
In diesem Fall setzen wir $ v_3:=1 $.
Daraus folgt:

$ v_2=-2 $

weiterhin folgt:

$ v_1= -2v_2 -3v_3 = -2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = 1 $.

Also ist der Kern:

$ Kern(T) = \left\langle \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right \rangle $



2. Beispiel:

$ F: \IR^3 \to \IR^2 $ (von $ \IR^3 $ nach $ \IR^2 $)

$ \vec{v} = \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z \\ 2x + 4y + 2z} $


Die dazu aufgestellte Matrix lautet:

$ M = \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2} $


Nun können wir 2 Gleichungen aufstellen (da nach $ \IR^2 $ abbilden).

$ M\cdot{}\vec{v} = \vec{0} $

I. $ x + z = 0 $
II. $ 2x + 4y + 2z $


Nun wird umgeformt:

I. $ x + z = 0 $

$ \Rightarrow \red{z = -x} $

$ \Rightarrow \green{x = -z} $




Jetzt wird II. umgeformt und I. $ \red{z = -x} $ eingesetzt:

$ 2x + 4y + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4y + 2\cdot{}(\red{-x}) = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4y \red{ - 2x} = 0 $

$ \Rightarrow 4y = 0 $

$ \Rightarrow y = 0 $




Jetzt wird II. umgeformt:

$ 2x + 4y + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4\cdot{}0 + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2z = - 2x $

$ \Rightarrow z = - x $




Jetzt wird I. $ \red{z = -x} $ und II. $ \Rightarrow z = - x $ gleichgesetzt:

$ -x = -x $

$ x = x $


Der Kern lautet also:

$ Ker(F) = \vektor{x \\ 0 \\ -x} $

Erstellt: Di 24.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Sa 17.03.2007 um 22:06 von Disap
Weitere Autoren: DaMenge, KnockDown, Shaguar
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]