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Sei $ V $ ein $ K $-Vektorraum. Sei für irgendeine Indexmenge $ I $ nun $ (v_j)_{j \in I} $ eine Familie von Elementen $ v_j \in V $ für alle $ j \in I. $ Man sagt, dass die Familie $ (v_j) $ ($ :=(v_j)_j:=(v_j)_{j \in I} $) linear unabhängig sei, wenn für jede endliche Menge $ E \subseteq J $ gilt:
Sind $ k_m \in K $ für alle $ m \in E\,, $ so gilt:

$ (\star)\;\;\;\sum_{m \in E}k_m v_m=0_V \Longrightarrow k_m=0_K$ für alle $m \in E. $

Dabei ist $ 0_K $ das additiv neutrale Element im Körper $ K. $

Familien, die nicht linear unabhängig sind, werden linear abhängig genannt.

Bemerkungen:
(1) Weil in $ (\star) $ die Richtung $ \Longleftarrow $ immer(!) gilt, kann man dort auch $ \Longrightarrow $ durch $ \iff $ ersetzen.

(2) Ist $ J $ endlich, so ist $ (v_j)_{j \in J} $ genau dann linear unabhängig, wenn $ (\star) $ speziell für $ E=J $ gilt.
Beweis. "$ \Longrightarrow $": Ist trivial, weil $ E:=J $ eine endliche Teilmenge von $ J $ ist.
"$ \Longleftarrow $": Man mache sich einfach klar, dass Teilfamilien linear unabhängiger Familien generell wieder linear unabhängig sein müssen. Dies wende man für den Spezialfall einer endlichen Familie an!

(3) Ist $ J $ endlich, so sagt man oft auch einfach, dass die Vektoren $ v_j $ linear (un-)abhängig seien, wenn man meint, dass die Familie $ (v_j) $ linear (un-)abhängig sei.

(4) Um drei Vektoren $ u,v,w \in V $ auf lineare Unabhängigkeit zu untersuchen, kann man folgenden kleinen Trick verwenden:
Seien $ u,v $ linear unabhängig. Genau dann sind $ u,v,w $ linear abhängig, wenn das GLS

$ (\star_2)\;\;\;r\cdot{}u+s\cdot{}v=w $

lösbar in $ (r,s) \in K^2 $ ist.
Beweis. "$ \Longleftarrow $": Sind $ r_0,s_0 $ die Lösungen dieser Gleichung, so zeigt die Gleichung $ r_0u+s_0v+(-1)w=0_V $ die lineare Abhängigkeit.
"$ \Longrightarrow $": (Beweis per Kontraposition) Sei nun die Gleichung $ (\star_2) $ nicht lösbar. Angenommen, $ u,v,w $ wären doch linear abhängig. Dann gibt es $ (r_0,s_0,t_0) $ mit $ r_0u+s_0v+t_0w=0_V. $ Wäre $ t_0=0_K, $ so folgte wegen der linearen Unabhängigkeit von $ u,v $ auch $ r_0=s_0=0_K. $ Dann wären $ u,v,w $ also doch linear unabhängig. Widerspruch. Also muss $ t_0 \not=0_K $ gelten. Dann folgt aber
$ -\frac{r_0}{t_0}u+\left(-\frac{s_0}{t_0}\right)v=w, $

so dass $ (\star_2) $ doch lösbar wäre, und zwar mit $ r:=-\tfrac{r_0}{t_0} $ und $ s:=-\tfrac{s_0}{t_0}. $ Widerspruch. Dies beendet den Beweis! $ \hfill \Box $

Beispiel:
Vorbemerkung:
In der Schule beschäftigt man sich meist mit der Frage, wann drei Vektoren $ u,v,w $ des $ \IR^3 $ linear (un-)abhängig sind. Anstatt das GLS

$ r\cdot{}u+s\cdot{}v+t\cdot{}w=\vektor{0\\0\\0} $

in $ r,s,t $ zu untersuchen. Hierbei helfen die Bemerkung (2) und (4) von oben:
Sind $ u,v $ linear abhängig, so sind (siehe Hinweis zum Beweis in Bemerkung (2)) auch $ u,v,w $ linear abhängig und wir haben nichts mehr zu rechnen.
Sind $ u,v, $ linear unabhängig, so betrachten wir das GLS in zwei Variablen:
$ r\cdot{}u+s\cdot{}v=w. $

Genau dann, wenn dieses nun lösbar in $ (r,s) \in \IR^2 $ ist, ist dann $ u,v,w $ linear abhängig. D.h., wenn dieses nun nicht lösbar ist, sind die drei Vektoren $ u,v,w $ linear unabhängig.

Beispiele mit konkreten Vektoren:
(a) Seien $ u=\vekor{2\\1\\3}, $ $ v=\vektor{4\\2\\6} $ und $ w=\vektor{1\\0\\1}. $ Wegen $ v=2u $ könnten wir direkt die lineare Abhängigkeit der drei Vektoren erkennen. Wir wenden aber trotzdem auch mal die Vorbemerkung in ungünstiger Weise an:
$ v,w $ sind linear unabhängig. Betrachten wir nun also das GLS

$ r\cdot{}v+s\cdot{}w=0 $

$ \iff r\cdot{}\vektor{4\\2\\6}+s\cdot{}\vektor{1\\0\\1}=\vekor{2\\1\\3} $

Wir erhalten das GLS

   (I)    $ 4r+s=2 $
   (II)   $ 2r=1 $
   (III)  $ 6r+s=3 $

(II) ist gleichwertig zu $ r=1/2, $ und setzen wir das in (I) ein, so folgt, dass diese gleichwertig ist zu $ s=0. $ Weil damit auch (III) erfüllt ist, ist das GLS lösbar und die drei Vektoren sind linear abhängig.

(b) Seien $ u=\vektor{2\\1\\3}, $ $ v=\vektor{4\\3\\5} $ und $ w=\vektor{6\\3\\7}. $ Offenbar sind $ u,v $ linear unabhängig. Das GLS

$ r\cdot{}u+s\cdot{}v=w $

geht über in
$ r\cdot{}\vektor{2\\1\\3}+s\cdot{}\vektor{4\\3\\5}=r\cdot{}\vektor{6\\3\\7}. $

Daraus folgt das äquivalente GLS

   (I)    $ 2r+4s=6 $
   (II)   $ r+3s=3 $
   (III)  $ 3r+5s=7 $

Aus (I)-2$ \cdot{} $(II) folgt $ -2s=0, $ also $ s=0. $ Damit ist $ r=3 $ und (I) und (II) sind beide erfüllt. Setzen wir allerdings $ r=3 $ und $ s=0 $ in (III)_ ein, so erhalten wir

$ 3\cdot{}3+5\cdot{}0=7 \iff 9=7. $

Damit ist (III) nicht erfült, und das GLS, bestehend aus (I), (II) und (III), ist nicht lösbar in $ (r,s) \in \IR^2. $ Folglich sind die drei obigen Vektoren $ u,v,w $ in unserem Teil (b) linear unabhängig.


Schule

Definition (linear) unabhängig (-e Vektoren)

Gegeben sei ein reeller (3-dimensionaler) Vektorraum, darin die Vektoren $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} $.

Diese Vektoren heißen linear abhängig, wenn es Zahlen $ k_1, k_2, k_3 \in \IR $ gibt mit:

$ k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}+k_3\vec{v_3}=\vec{0}, $
wobei nicht alle k-Zahlen gleichzeitig Null sind.

anders gesagt: die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination der restlichen Vektoren ausdrücken lässt.
(Man beachte, dass man dabei nicht sagen darf, dass sich jeder der Vektoren als Linearkombination der anderen ausdrücken läßt. Dazu ein einfaches Beispiel: Sind $ v,w $ linear unabhängig und ist $ u=v, $ so kann eine Linearkombination von $ u,v $ niemals den Vektor $ w $ ergeben - denn andernfalls müßte $ w $ linear abhängig von $ v $ sein!)

Vektoren, die nicht linear abhängig sind, nennt man linear unabhängig.

Anwendung:

Die Vektoren $ \vec{a}=\vektor{a_1\\a_2\\a_3}, \vec{a}=\vektor{a_1\\a_2\\a_3}, \vec{a}=\vektor{a_1\\a_2\\a_3} $ sind genau dann linear unabhängig, wenn sich ihre Linearkombination

$ k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}+k_3\vec{v_3} $
nur für $ k_1= k_2=k_3=0 $ zum Vektor $ \vec{0} $ addiert.


Sind zwei Vektoren linear abhängig, so sind sie parallel und man nennt sie auch kollinear.

Sind drei Vektorne linear abhängig, so liegen sie in einer Ebene und man nennt sie auch komplanar.


siehe [link]Wikipedia

Erstellt: Di 22.01.2008 von informix
Letzte Änderung: Do 06.06.2013 um 17:13 von Marcel
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