binomischer Lehrsatz

Die binomische Formel ist nur ein Spezialfall des sogenannten Binomischen Lehrsatzes oder auch der allgemeinen Binomischen Formel.
Mit ihr ist es möglich, den Term

relativ leicht auszumultiplizieren.

Sie lautet:

Wollen wir diese Klammern ausmultiplizieren, so können wir bei jeder von ihnen zwischen und wählen. Wenn wir für alle Klammern entweder oder gewählt haben, so erhalten wir den Term - das bedeutet, dass wir mal , und mal gewählt haben.
Es bleibt nun noch zu überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, genau mal und mal zu wählen. Diese Anzahl liefert der Binomialkoeffizient . Er gibt bekanntlich die Anzahl der Möglichkeiten an, aus Objekten auszuwählen. ist in diesem Falle und ist die Anzahl der Klammern. D.h. also er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus den Klammern auszuwählen, in denen wir wählen. (Das ist äquivalent zu , da die Binomialkoeffizienten symmetrisch sind).

Damit ist der Satz auch schon fast erklärt, fehlt nur noch die Aufsummierung aller Werte für . Dies ist klar, denn schließlich wollen wir alle Auswahlmöglichkeiten durchlaufen.

Es ergibt sich also insgesamt der Binomische Lehrsatz
.

Man sieht hieran auch, dass die erste und zweite binomische Formel nur ein Spezialfall für ist:

.

Für die zweite Binomische Formel gilt Analoges, nur mit dem Unterschied, dass ein anderes Vorzeichen hat, was sich allerdings wegen des Quadrates in Glied 1 und 3 nur im 2. bemerkbar macht:

Häufig benötigt man auch diese Formel:

Die Koeffizienten ergeben sich aus dem Pascalschen Dreieck.