www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseitekomplexe_Zahl
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
komplexe_Zahl
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

komplexe Zahl

Menge

Die Menge der komplexen Zahlen $ \IC $ ist ganz abstrakt die Menge aller Paare von reellen Zahlen:

$ \IC:=\IR^2 $

Zum Beispiel könnte das Zahlenpaar $ (2,3) $ als eine komplexe Zahl aufgefasst werden.

Sehr verbreitet für die Schreibweise einer komplexen Zahl $ (x,y) $ ist auch die kartesische oder algebraische Darstellung

$ (x,y)\ =\ x+iy\ =\ x+yi $

oder als Mengenbeschreibung

$ \IC:=\left\{z|\ z=x+iy,\quad x,y\in\IR\ \wedge\ i^2=-1\right\} $

Zunächst sind dabei die Zeichen $ + $ und $ i $ nur Symbole ohne jede Bedeutung, gewissermaßen "Trennzeichen" zwischen $ x $ und $ y $. Man sollte sie nicht sofort als Rechenzeichen "+" oder als Variable "i" auffassen. Später (bei Behandlung der definierten Verknüpfungen) wird sich aber zeigen, dass sich mit dieser Schreibweise die Verknüpfungsregeln sehr einfach merken lassen.



Verknüpfungen

Es seinen nun $ z_1:=x_1+y_1i $ und $ z_2:=x_2+y_2i $ zwei komplexe Zahlen. In diesem Abschnitt sollen Verknüpfungen wie die Addition $ z=z_1+z_2 $ und Multiplikation $ z=z_1\cdot{}z_2 $ komplexer Zahlen definiert werden.


Addition

In der Addition werden komplexe Zahlen folgendermaßen beschrieben:

$ (x_1,y_1)+(x_2,y_2):=(x_1+x_2\ ,\ y_1+y_2) $

Komplexe Zahlen werden also komponentenweise addiert. In der alternativen Darstellung sieht dies so aus:

$ z_1+z_2\ =\ x_1+y_1i+x_2+y_2i\ :=\ (x_1+x_2)+(y_1+y_2)i $

Multiplikation

Auf den ersten Blick vielleicht nicht ganz so naheliegend ist eine Multiplikation definiert durch

$ (x_1,y_1)\cdot{}(x_2,y_2)\ :=\ (x_1\cdot{}x_2-y_1\cdot{}y_2\ ,\ x_1\cdot{}y_2+x_2\cdot{}y_1) $

Zum Vergleich wieder die kartesische Darstellung:

$ z_1\cdot{}z_2=(x_1+y_1i)\cdot{}(x_2+y_2i)\ :=\ (x_1\cdot{}x_2-y_1\cdot{}y_2)\ +\ (x_1\cdot{}y_2+x_2\cdot{}y_1)i $

Diese Definition ist leicht zu merken, wenn man sich "naiv" nur merkt, dass $ i\cdot{}i=-1 $, denn dann sieht das Ergebnis der Multiplikation so aus, als wäre es durch formales ausmultiplizieren entstanden:


$ \begin{array}{rcl}
 (x_1+y_1i)\cdot{}(x_2+y_2i)  & =  & x_1\cdot{}x_2\ +\ x_1\cdot{}i\cdot{}y_2\ +\ i\cdot{}y_1\cdot{}x_2\ +\ i\cdot{}y_1\cdot{}i\cdot{}y_2 \\
   & =  & x_1\cdot{}x_2\ +\ i\cdot{}x_1\cdot{}y_2\ +\ i\cdot{}y_1\cdot{}x_2\ +\ i\cdot{}i\cdot{}y_1\cdot{}y_2  \\
   & =  & x_1\cdot{}x_2\ +\ i\cdot{}(x_1\cdot{}y_2\ +\ y_1\cdot{}x_2)\ +\ (-1)\cdot{}y_1\cdot{}y_2  \\
   & =  & (x_1\cdot{}x_2 - y_1\cdot{}y_2)\ +\ (x_1\cdot{}y_2 + x_2\cdot{}y_1)i
 \end{array} $

In dieser Vereinfachung des "Merkaufwands" liegt der Nutzen und die Bedeutung der kartesischen Schreibweise, die in diesem Artikel fortan verwendet wird.

Man kann leicht zeigen, dass beide Verknüpfungen assoziativ und kommutativ sind:

  • $ z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3 $ (Assoziativität der Addition)

  • $ z_1\cdot{}(z_2\cdot{}z_3)=(z_1\cdot{}z_2)\cdot{}z_3 $ (Assoziativität der Multiplikation)

  • $ z_1+z_2=z_2+z_1 $ (Kommutativität der Addition)

  • $ z_1\cdot{}z_2=z_2\cdot{}z_1 $ (Kommutativität der Multiplikation)

Außerdem gilt das Distributivgesetz:

  • $ z_1\cdot{}(z_2+z_3)=z_1\cdot{}z_2+z_1\cdot{}z_3 $

Beispiele für die Verknüpfungen


  • $ (3+4i)\ +\ (-2+8i)\ =\ \ 3-2+4i+8i\ =\ 1+12i $
  • $ (-2+8i)\ +\ (3+4i)\ =\ -2+3+8i+4i\ =\ 1+12i $

  • $ (3+4i)\cdot{}(-2+8i)\ =\ -6+24i-8i-32\ =\ -38+16i $
  • $ (-2+8i)\cdot{}(3+4i)\ =\ -6-8i+24i-32\ =\ -38+16i $


Körper

Zeigt man noch die Existenz der neutralen Elemente für die Addition und Multiplikation und die Existenz inverser Elemente, so gelten alle Körperaxiome.



Motivation für die Einführung der komplexen Zahlen

Die Polynomgleichung $ z^2+1=0 $, die über den reellen Zahlen nicht lösbar ist, hat nun die beiden komplexzahligen Lösungen $ z_{1,2}=\pm i $. Daher lässt sich der Term $ z^2+1 $ nun als Produkt in der "Linearfaktorschreibweise" darstellen: $ z^2+1=(z-i)\cdot{}(z+i) $. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt sogar jedes Polynom vom Grad n in n Linearfaktoren.



Weitere Definitionen


  • Komplex-Konjugiertes zu $ z\quad \overline{z}:=x-i\cdot{}y $

  • Realteil zu $ z\quad \operatorname{Re}(z):=x $

  • Imaginärteil zu $ z\quad \operatorname{Im}(z):=y $

  • Betrag von $ z\quad |z|:=\ r\ =\ \sqrt{x^2+y^2} $

  • Argument von $ z\quad \arg(z):=\arctan\frac{y}{x} $


Umrechnung in die trigonometrische Form


$ x>0\quad  y\ge 0\ :\quad \varphi\ge 0\quad \Rightarrow\quad  \tan(\varphi)=\bruch{y}{x} $

$ x<0\quad  y\ge 0\ :\quad \varphi\ge 0\quad \Rightarrow\quad  \tan(\varphi-\pi)=\bruch{y}{x} $

$ x<0\quad  y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad  \tan(\varphi+\pi)=\bruch{y}{x} $

$ x>0\quad  y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad  \tan(\varphi)=\bruch{y}{x} $

Konkrete Beispiele: Argumentbestimmung komplexer Zahlen


Umrechnung von der trigonometrischen Form in die Normalform

Für $ z=x+iy $ berechnet sich der Realteil $ \operatorname{Re}(z)=x $ durch

$ x\ =\ r\cdot{}\cos(\varphi) $

und der Imaginärteil $ \operatorname{Im}(z)=y $ durch

$ y\ =\ r\cdot{}\sin(\varphi) $


Exponentialform einer komplexen Zahl

Mit der Euler'schen Identität $ e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi) $ folgt für eine komplexe Zahl $ z=x+i\cdot{}y $


$ z\ =\ r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi}\ =\ r\cdot{}\left[\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi)\right] $

$ z^n=r^n\cdot{}e^{i\cdot{}n\cdot{}\varphi} $    für    $ z=r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi} $


Rechnen mit der trigonometrischen Form

Es seien $ z,z_1,z_2\in\IC $  mit  $ z=x+i\cdot{}y\quad z_1=x_1+i\cdot{}y_1\quad z_2=x_2+i\cdot{}y_2 $


  • $ z_1\pm z_2=r_1\cdot{}\cos(\varphi_1) \pm r_2\cdot{}\cos(\varphi_2)\ +\ i\cdot{}[r_1\cdot{}\sin(\varphi_1) \pm r_2\cdot{}\sin(\varphi_2)] $

  • $ z_1\cdot{}z_2=r_1\cdot{}r_2\cdot{}[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\cdot{}\sin(\varphi_1+\varphi_2)] $

  • $ \bruch{z_1}{z_2}=\bruch{r_1}{r_2}\cdot{}[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\cdot{}\sin(\varphi_1-\varphi_2)] $   mit   $ z_2\not=0 $

  • $ z^n=r^n\cdot{}(\cos(n\cdot{}\varphi)+i\cdot{}\sin(n\cdot{}\varphi)) $    für    $ z=r\cdot{}(\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi)) $

Zur Berechnung der Potenzen verwendet man i.a.R die Formel von Moivre-Laplace.


Rechenregeln für $ z=\operatorname{Re}(z)+i\cdot{}\operatorname{Im}(z) $


  • $ \operatorname{Re}(z_1)+\operatorname{Re}(z_2)\ =\ \operatorname{Re}(z_1+z_2) $

  • $ \operatorname{Im}(z_1)+\operatorname{Im}(z_2)\ =\ \operatorname{Im}(z_1+z_2) $

  • $ \overline{z_1}+\overline{z_2}\ =\ \overline{z_1+z_2} $    ("Konjugiertenbildung ist verträglich mit der Addition")

  • $ \overline{z_1}\cdot{}\overline{z_2}\ =\ \overline{z_1\cdot{}z_2} $    ("Konjugiertenbildung ist verträglich mit der Multiplikation")

  • $ z=|z|\cdot{}\left(\cos(\arg(z))\ +\ i\cdot{}\sin(\arg(z))\right) $

  • $ z=|z|\cdot{}e^{i\cdot{}\arg(z)} $

  • $ |z|=\sqrt{z\cdot{}\overline{z}} $

  • $ \operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2} $

  • $ \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i} $

Weitere Artikel bezüglich komplexer Zahlen



Erstellt: So 03.09.2006 von Frusciante
Letzte Änderung: Mi 21.05.2014 um 14:45 von Herby
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]