Abbildungsvorschrift < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Fr 26.09.2014 | | Autor: | hubi92 |
| Aufgabe | a) Geben Sie die Abbildungsvorschrift für die Spiegelung an der zweiten Winkelhalbierenden ({(x,y) | x+y=0}) der reellen Koordinatenebene in der Form alpha:R² -> R²: (x,y) -> (x',y') an.
b) Geben Sie dieselbe Abbildung in folgender Form an: alpha: ℂ -> ℂ: x+yi ->
c) Stellen Sie diese Abbildung auch in der Form alpha. ℂ -> ℂ: z -> az + b mit geeigneten a,b € ℂ dar. |
Hallo ihr Lieben!
Ich hoffe ihr könnt mir bei meinen Aufgaben weiterhelfen. Ich bekomme noch nicht mal einen Anstz hin, da ich nie verstanden habe, wie man eine Abbildungsvorschrift macht.
Ich hoffe jemand von euch ist so lieb, es mir zu erklären, sodass ich es verstehe =)
Vielen vielen Dank!
glg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Fr 26.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo hubi,
ich möchte dir zunächst einmal einen Ansatz für a) liefern, da die Aufgaben ja aufeinander aufbauen. Vielleicht fallen dir die anderen Aufgaben dann einfacher. Überlege dir folgendes:
1.) Wie sieht [mm] \{(x,y)\in\IR^2|x+y=0\} [/mm] aus?
2.) Mache dir die Definition einer Achsenspiegelung klar:
Eine Spiegelung an einer Achse $g:= [mm] \{(x,y)\in\IR^2|x+y=0\}$ [/mm] ist eine Abbildung der Ebene in sich selbst [mm] (\IR^2\to\IR^2), [/mm] s.d.
(I) alle Punkte auf $g$ Fixpunkte der Abbildung sind und
(II) für jeden Punkt $P=(x,y)$ außerhalb von $g$ mit zugehörigem Bildpunkt $P'=(x',y')$ die Strecke [mm] $\overline{PP'}$ [/mm] durch $g$ senkrecht halbiert wird.
3.) Bilde mal ein paar Punkte ab und schau mal, welche Regelmäßigkeit dahinter steckt. Versuche dies als Funktion [mm] \IR^2\to\IR^2 [/mm] dergestalt auszudrücken, dass quasi " [mm] (x,y)\mapsto(?,?). [/mm] "
Danach wird dir Aufgabe b) und c) sicherlich leichter fallen. Beachte dabei, dass [mm] \IC [/mm] abenfalls als Ebene darstellbar ist, wobei die x-Achse durch den Realteil und die y-Achse durch den Imaginärteil gegeben ist.
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Fr 26.09.2014 | | Autor: | hubi92 |
Hallo Ladon,
vielen Dank schon einmal für deine Hilfe.
also ich habe mir das ganze jetzt mal aufgemalt und punkte gespiegelt und komme somit auf das Ergbenis:
(x,y) -> (-y,-x)
jetzt ist mir aufgefallen, dass wenn ich x+y=0 auf x bzw y auflöse, das gleiche Ergebnis rauskommt.
x+y=0 <=> x=-y und y=-x
kann ich das bei allen Abbildungsvorschriften so berechnen oder muss ich mir immer aufmalen und die Punkte spiegeln?
bei Aufgabe b) habe ich jetzt diesen Ansatz, bin mir jedoch nicht sicher ob das Ergebnis richtig ist:
alpha: ℂ -> ℂ: x+yi -> -y-xi
ich habe jetzt nur ein i rangehängt. ist das alles oder wie funktioniert das?
bei der Aufgabe c) komme ich leider noch nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Fr 26.09.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Abbildung z nach az+b mit festen [mm] a,b\in [/mm] IC ist eine Drehstreckung, keine Spiegelung kann man dadurch darstellen!
Kann es sein, dass da nich t az+b sondern [mm] a\overline{z}+b [/mm] steht? dann geht es, sonst musst du für b irgendwas mit IM(z) nehmen, was ich mir nicht vorstellen kann-
mit z-> [mm] a\overline{z}+b [/mm] kannst du einfach ein a suchen wodurch [mm] \overline{z}=x-iy [/mm] zu -y-ix
wird. dass dann b=0 ist klar, da ja z= 0 auf 0 abgebildet werden muss.
Also entweder dein Abschreibefehler oder ein Druckfehler in der Aufgabe.!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Fr 26.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Da zu c) bereits alles gesagt wurde, wende ich mich deinen anderen Fragen zu.
> kann ich das bei allen Abbildungsvorschriften so berechnen oder muss ich
> mir immer aufmalen und die Punkte spiegeln?
Es kommt auf die Aufgabe an. Generell gilt aber: Du solltest dir erst einmal ein Bild davon machen, was deine Abbildung überhaupt macht. Wie leduard kann man häufig auch geschickte Wege gehen, z.B. über die Bilder der Basisvektoren.
> bei Aufgabe b) habe ich jetzt diesen Ansatz, bin mir jedoch nicht sicher
> ob das Ergebnis richtig ist:
> alpha: ℂ -> ℂ: x+yi -> -y-xi
> ich habe jetzt nur ein i rangehängt. ist das alles oder wie funktioniert das?
Das Ergebnis ist richtig. Es sollte dich nicht überraschen, dass es dem Ergebnis aus a) ähnelt. Wenn man die Definition der komplexen Zahlen beachtet, so kann man auch eine komplexe Zahl [mm] z=(a,b)\in\IC [/mm] eindeutig als das geordnete Paar darstellen, wobei man $i:=(0,1)$ setzt und $z=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi$ mit [mm] a,b\in\IR [/mm] gilt.
MfG
Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Fr 26.09.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst für a) nur die Bilder der Basisvektoren [mm] e_1= [/mm] (1,0) [mm] unde_2= [/mm] (0,1) aus einer Skizze ablesen. also [mm] f(e_1)=..
[/mm]
,alle anderen Vektoren sind dann, da die Abb. linear ist Linearkombinationen, also [mm] f((x,y))=x*f(e_1)+y*f(e_2)
[/mm]
Gruß leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Fr 26.09.2014 | | Autor: | hubi92 |
vielen Dank für deine Hilfe Leduart!
Das hat mir sehr geholfen. Ich habe Aufgabe a) somit lösen können =)
R² -> R²: (x,y) -> (-y,-x)
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