Aufgabe 9. Klasse: "N=n^4-n^2" < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 18:30 Di 02.03.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo zusammen,
nachdem Euch die Aufgabe der ersten Runde ja vor keine allzu großen Probleme gestellt hat, kommt jetzt was Schwierigeres. Es ist eine Aufgabe aus der 2. Runde des Landeswettbewerbs Rheinland-Pfalz aus dem Jahr 1995:
Für jede natürliche Zahl [mm]n \ge 1[/mm] ist eine Zahl [mm]N[/mm] festgelegt durch die Gleichung [mm]N = n^4 - n^2[/mm].
Beispiel: für [mm]n = 3[/mm] ist [mm]N = 3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72[/mm].
a) Bestimme alle Zahlen [mm]n[/mm], für welche die zugehörige Zahl [mm]N[/mm] durch 12 teilbar ist.
b) Begründe, daß 60% aller Zahlen durch 10 teilbar sind.
Viel Spaß
Oliver
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Hallo,
Ich weiß nicht, wie man die Aufgabe mit Formeln lösen kann, aber ich habe mal ausprobiert verschiedene Zahlen einzusetzen. Ich glaube für n gilt:
[mm] n > 1 [/mm]
Ich weiß aber nicht ob das richtig ist. Eins war die einzige Zahl n ( von allen die ich ausprobiert habe) bei der die Zahl N nicht durch 12 teilbar war.
Gruß,
Nalath
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Nalath,
ausprobieren ist schonmal ein guter Anfang, da sieht man teilweise schon, was man denn zu beweisen versuchen sollte.
Deine Vermutung ist also, dass N für alle n>1 durch 12 teilbar. Schauen wir uns also erst einmal n=1 an. Da hätten wir N=1-1=0. 0 ist aber auch durch 12 teilbar, denn 0/12=0 (0 ist durch alle natürlichen Zahlen teilbar). Berücksichten wir dies, vermuten wir: N ist für alle n>=1 teilbar durch 12.
Wie können wir das beweisen? Solche Fragen "schreien" gerade dazu, die Vorschrift zur Berechnung von N als Produkt möglichst vieler Faktoren umzuformulieren ... versuch das mal und beachte auch solche Dinge wie Binomische Formel (gerade die dritte eignet sich bestens, um eine Summe in ein Produkt umzurechnen). Und wie geht's dann weiter? Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie sich als Produkt einer Zahl, die durch 4 teilbar ist, und einer Zahl, die durch 3 teilbar ist, schreiben lässt. Oder noch besser: Produkt dreier Zahlen, wobei zwei davon durch 2 und eine durch 3 teilbar sein müssen.
Versuch' mal, in dieser Richtung weiter zu kommen und poste doch hier Deine Lösungsversuche.
Viel Spaß
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Oliver,
> durch die Gleichung [mm]N = n^4 - n^2[/mm].
> Beispiel: für [mm]n = 3[/mm]
> ist [mm]N = 34 - 32 = 81 - 9 = 72[/mm].
Woher kommt denn "34-32" bzw. wie kommt es zustande? Übersehe ich was?
Viele Grüße,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Youri |
Hallo Mack -
> Woher kommt denn "34-32" bzw. wie kommt es zustande?
> Übersehe ich was?
ich glaub schon -aber ist ja auch noch früh :)
[mm] 3^4 [/mm] - [mm] 3^2
[/mm]
war wohl gemeint - ne?
Liebste Grüsse,
Andi.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andi,
> > Woher kommt denn "34-32" bzw. wie kommt es zustande?
> > Übersehe ich was?
>
> ich glaub schon -aber ist ja auch noch früh :)
Von wegen - ich war schon in der Uni - in *deiner* häßlichen Uni.
> [mm] 3^4 [/mm] - [mm] 3^2
[/mm]
> war wohl gemeint - ne?
Jo, klar, hätte man auch drauf kommen können. Damit komme ich wohl nicht in die nächste Runde...
Danke,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Larissa |
Hallo zusammen!
Ich habe gerade ein bisschen über den Beweis nachgedacht. Also wenn man das ganze nach der 3. binomischen Formel umformt kommt man zu:
N=(n²+n)*(n²-n)
Ich verstehe jetzt nur nicht, wie ich von da aus, dass mit der 4 und der 3 nachweisen kann...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Hallo!
Also:
[mm] N = n^4 - n^2 [/mm]
[mm]N = (n^2 - n) * (n^2 + n) [/mm]
[mm]N = n (n - 1) * n (n + 1) [/mm]
[mm]N = n * n * (n - 1) * (n + 1) [/mm]
[mm]N = n^2 * (n - 1) * (n + 1) [/mm]
[mm]N = n^2 * (n^2 - 1) [/mm]
[mm]N = n^4 - n^2 [/mm]
So und jetzt bin ich wieder da wo ich angefangen habe... Bei welchem Schritt muss ich versuchen zu beweisen, dass die Zahl durch 3 und 4, also durch zwölf teilbar ist und wie mache ich das?
Gruß,
Nalath
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath!
> Hallo!
> Also:
> [mm]N = n^4 - n^2[/mm]
> [mm]N = (n^2 - n) * (n^2 + n)[/mm]
> [mm]N = n (n - 1) * n (n + 1)[/mm]
>
> [mm]N = n * n * (n - 1) * (n + 1)[/mm]
> [mm]N = n^2 * (n - 1) * (n + 1)[/mm]
STOP! 
So. Überlege dir mal folgendes:
Eine der Zahlen [mm]n-1[/mm], [mm]n[/mm] und [mm]n+1[/mm] ist durch [mm]3[/mm] teilbar. Damit ist auch das Produkt dieser Zahlen und damit auch [mm]N[/mm] durch [mm]3[/mm] teilbar.
Bevor wir weitermachen: Ist dir das klar?
Sonst frage nach, dafür sind wir da.
Anschließend geht es dann weiter...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 07.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Hallo!
Ja es ist mir klar, dass entweder [mm] n = 3 [/mm] oder [mm] n-1= 3 [/mm] oder [mm] n + 1 = 3 [/mm] sein muss.
Aber alleine wäre ich da nicht drauf gekommen... Und das geht doch auch nur bei der 3, oder?
Gruß,
Nalath
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 07.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath!
> Ja es ist mir klar, dass entweder [mm]n = 3[/mm] oder [mm]n-1= 3[/mm] > oder [mm]n + 1 = 3[/mm] sein muss.
Du meinst:
... dass entweder [mm]n[/mm] durch [mm]3[/mm] teilbar sein muss oder [mm]n+1[/mm] durch [mm]3[/mm] teilbar sein muss [mm]n-1[/mm] durch [mm]3[/mm] teilbar sein muss.
Das gilt (abgewandelt) auch für andere Zahlen.
Beispiel:
Entweder [mm]n-2[/mm] ist durch [mm]5[/mm] teilbar oder [mm]n-1[/mm] ist durch [mm]5[/mm] teilbar oder [mm]n[/mm] ist durch [mm]5[/mm] teilbar oder [mm]n+1[/mm] ist durch [mm]5[/mm] teilbar oder [mm]n+2[/mm] ist durch [mm]5[/mm] teilbar.
Allgemein: Genau eine von [mm]k[/mm] aufeinander folgenden Zahlen ist durch [mm]k[/mm] teilbar.
> Aber alleine wäre ich da nicht drauf gekommen...
Das ist nur eine Frage der Routine, mach dir keine Sorgen.
Jetzt muss du dir noch überlegen, warum
[mm]N=n^2 \cdot(n-1)\cdot(n+1)[/mm]
immer durch [mm]4[/mm] teilbar ist.
Überlege dir mal: Wie sieht [mm]N[/mm] aus, wenn [mm]n[/mm] gerade ist? (Dann kannst du [mm]n=2l[/mm] mit einer natürlichen Zahl [mm]l[/mm] annehmen.) Wie sieht [mm]N[/mm] aus, wenn [mm]n[/mm] ungerade ist? (Dann kannst du [mm]n=2l-1[/mm] mit einer natürlichen Zahl [mm]l[/mm] annehmen.)
Wie sehen dann jeweils die einzelnen Faktoren aus? Setze mal [mm]n=2l[/mm] und [mm]n=2l-1[/mm] oben ein und schaue was passiert. Warum ist in beiden Fällen [mm]N[/mm] durch [mm]4[/mm] teilbar?
Versuche es mal und melde dich mit einem Versuch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Hallo!
Also ich habe jetzt [mm] n = 2l [/mm] und [mm] n = 2l -1 [/mm] in die Gleichung [mm] N = n * n * (n - 1) * (n+1) [/mm] eingesetzt.
Da habe ich folgende Ergebnisse:
N gerade:
[mm] N = 16l^2 - 4l^2 [/mm]
N ungerade:
[mm] N = 16l^4 - 16l^3 - 16l^2 + 4l [/mm]
In beiden Fällen ist N durch 4 teilbar, da:
Eine Zahl die durch k teilbar ist, ist auch durch die Teiler von k teilbar?
Also da immer ein Faktor in den obrigen Gleichungen durch vier teilbar ist, ist auch die Summe/Differenz der Produkte durch vier teilbar?
Gruß, Nalath
PS:
Rechts auf der Seite hier steht 'Wer ist online' und darunter mein Name. Hinter meinem Namen steht ein Stern. Was bedeutet der?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath!
> Hallo!
> Also ich habe jetzt [mm]n = 2l[/mm] und [mm]n = 2l -1[/mm] in die Gleichung
> [mm]N = n * n * (n - 1) * (n+1)[/mm] eingesetzt.
>
> Da habe ich folgende Ergebnisse:
>
> N gerade:
> [mm]N = 16l^2 - 4l^2[/mm]
>
> N ungerade:
> [mm]N = 16l^4 - 16l^3 - 16l^2 + 4l[/mm]
>
> In beiden Fällen ist N durch 4 teilbar, da:
> Eine Zahl die durch k teilbar ist, ist auch durch die Teiler von k teilbar?
> Also da immer ein Faktor in den obrigen Gleichungen durch vier teilbar ist, ist auch die Summe/Differenz der Produkte durch vier teilbar?
Ja, so kann man es begründen. Ich hätte es zwar nicht explizit ausgerechnet, sondern die Faktoren so stehen gelassen, aber so geht es auch.
Du hast also gezeigt, dass [mm]N=n^4 - n^2[/mm] immer durch [mm]3[/mm] und immer durch [mm]4[/mm] teilbar ist, also auch immer durch [mm]12[/mm]. Damit ist die Aufgabe gelöst!
Herzlichen Glückwunsch! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 
> PS:
> Rechts auf der Seite hier steht 'Wer ist online' und darunter mein Name. > Hinter meinem Namen steht ein Stern. Was bedeutet der?
Dass du mindestens schon drei Fragen (in deinem Fall fünf) in verschiedenen Diskussionssträngen beantwortet hast. Normalerweise sind es Fragen anderer Schüler, in diesem Fall waren es von mir gestellte Wettbewerbsaufgaben. Wenn du mindestens 9 Sterne hast, bist du Tutorin und hast Zugang zu unserem Tutorenforum. Das bedeutet zusätzliche Rechte für dich (Tutoren haben ein erhöhtes Mitspracherecht, was den Fortgang und die Weiterplanung dieses Projektes angeht), aber auch zusätzliche "Pflichten", denn von den Tutoren wird etwas mehr Engagement als von "normalen" Mitgliedern erwartet. Erwartet, nicht gefordert! Das ist nichts Negatives, sondern eine Anerkennung. Natürlich kannst du auch mit 9 Sternen und mehr auch auf den Tutorstatus verzichten.
Genaueres findest du hier:
https://matheraum.de/faq#mfsternchen
Wenn du sehen willst, wie viele Fragen du schon beantwortet hast:
https://matheraum.de/usertop10?t=total_a_threads_a
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath!
Und wie sieht es mit der b) aus?
Hast du Ideen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Di 09.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
Hier ein Tipp zur b):
Wir hatten ja:
[mm]N=n^4-n^2 = n^2\cdot (n-1) \cdot (n+1)[/mm]
Nun nehmen wir eine beliebige natürliche Zahl [mm]n[/mm].
Wenn wir diese durch [mm]5[/mm] mit Rest teilen, dann kann es nur fünf verschiedene Möglichkeiten geben:
1) Der Rest ist gleich [mm]0[/mm], d.h. die Division geht auf.
2) Der Rest ist gleich [mm]1[/mm].
3) Der Rest ist gleich [mm]2[/mm].
4) Der Rest ist gleich [mm]3[/mm].
5) Der Rest ist gleich [mm]4[/mm].
Man kann dann [mm]n[/mm] so schreiben:
1) [mm]n=5k[/mm]
2) [mm]n=5k+1[/mm]
3) [mm]n=5k+2[/mm]
4) [mm]n=5k+3[/mm]
5) [mm]n=5k+4[/mm].
Überlegt euch mal:
In welchen dieser fünf Fälle ist [mm]N=n^4-n^2 = n^2\cdot (n-1) \cdot (n+1)[/mm] durch [mm]5[/mm] teilbar?
Beispiel:
5) [mm]n=5k+4[/mm].
Dann ist:
[mm] = (5k+4)^2\cdot (5k+4-1)\cdot (5k+4+1) = (5k+4)^2 \cdot (5k+3) \cdot (5k+5)[/mm]
und dies ist durch [mm]5[/mm] teilbar, da einer der Faktoren, nämlich [mm]5k+5[/mm] durch [mm]5[/mm] teilbar ist.
(Bemerkung: Mit Hilfe der sogenannten Kongruenzrechnung könnte man eleganter argumentieren. Es geht aber auch so.)
Versucht auf diese Art und Weise auch mal die anderen Fälle durchzuspielen und meldet euch mal mit euren Ergebnissen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 09.03.2004 | | Autor: | Larissa |
Hallo Stefan!
In den Fällen 1, 2 und 5 müsste N durch 5 teilbar sein. Ich habe das ganze jetzt auch mal mit der 10 versucht, allerdings finde ich da auch nur 3 Möglichkeiten (n=10k, n=10k+1 und n=10k+9). Kann es sein, dass auch die Fälle n=10k+5, n=10k+4 und n=10k+6 durch 10 teilbar sind? Das ist jedenfalls meine Vermutung. Allerdings finde ich dafür keine Begründung.
Liebe Grüsse!
Larissa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Di 09.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Larissa!
> In den Fällen 1, 2 und 5 müsste N durch 5 teilbar sein.
> Ich habe das ganze jetzt auch mal mit der 10 versucht,
Das brauchst du gar nicht. Eine Zahl ist ja durch [mm]10[/mm] teilbar, wenn sie durch [mm]2[/mm] und [mm]5[/mm] teilbar ist. (Das liegt daran, dass [mm]2[/mm] und [mm]5[/mm] keine gemeinsamen Teiler (außer [mm]1[/mm], aber der zählt nicht) haben. Ist dir das klar?)
Du hast gezeigt, dass [mm]N[/mm] in drei von fünf Fällen durch [mm]5[/mm] teilbar ist, also in 60%. Außerdem aber ist [mm]N[/mm] immer durch [mm]2[/mm] teilbar, wie wir weiter oben gezeigt haben.
Daher ist [mm]N[/mm] in 60% der Fälle (nämlich in den Fällen 1,2,5) durch [mm]10[/mm] teilbar.
Klar? Sonst frage bitte nach.
> allerdings finde ich da auch nur 3 Möglichkeiten (n=10k,
> n=10k+1 und n=10k+9). Kann es sein, dass auch die Fälle
> n=10k+5, n=10k+4 und n=10k+6 durch 10 teilbar sind?
Ja, siehe oben.
> Das ist
> jedenfalls meine Vermutung. Allerdings finde ich dafür
> keine Begründung.
Hast du es denn jetzt verstanden?
Liebe Grüsse
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Di 09.03.2004 | | Autor: | Larissa |
Ach so geht das. Klar, jetzt habe ich es auch verstanden. Damit müsste die Aufgabe dann ja auch gelöst sein.
Liebe Grüsse!
Larissa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Di 09.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Hallo !
Warum kann es denn nur 5 Lösungen für den Rest von [mm] n / 5 [/mm] geben?
Ich habe mal alle Ziffern von 1 bis 101 mit Excel in die Gleichnug [mm] N = n^4 - n^2 [/mm] eingesetzt. Davon waren 58 % durch 10 teilbar... aber das bringt mich nicht weiter...
Ich habe überlegt, dass jede Zahl die durch 5 und durch 2 teilbar ist, durch 10 teilbar sein muss.
Ich versuche es nochmal
Grüße,
Nalath
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Di 09.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nalath,
> Warum kann es denn nur 5 Lösungen für den Rest von [mm]n / 5[/mm]
> geben?
Die Division durch 5 bedeutet ja, wie häufig die $5$ in das $n$ passt.
Angenommen, sie würde 13-mal reinpassen und es bliebe ein Rest von 8 -- dann passt sie doch einmal mehr rein, also insgesamt 14 Mal mit einem Rest von 3.
Deswegen passt die $5$ entweder genau in das $n$ (Rest $0$, oder aber es bleibt $1$ übrig, oder $2$, $3$, $4$ ($5$ und alle größeren Zahlen können als Rest übrig bleiben, weil die $5$ dann mindestens einmal mehr ins $n$ gepasst hätte.
Viele Grüße,
Marc
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