Beweis Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
nach dem Lesen verschiedenster Bücher, Tutorials und Skripten zu diesem Thema wird mir eines noch immer nicht bewusst.
Sagen wir ich möchte die Konvergenz von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 beweisen (wenn n [mm] \to \infty), [/mm] so komme ich am Ende auf die Ungleichung [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] < n. In meinen Büchern steht nun dass der Beweis an dieser Stelle zuende ist und laut Archimedes die Konvergenz bewiesen ist.
Nun meine Frage: Warum ist hier der Beweis zuende? Was genau sagt mir [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] < n? Was die einzelnen Variablen bedeuten verstehe ich, nur kann ich mir nicht erklären weshalb ich hier fertig bin.
Vielen Dank im voraus
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
>
> nach dem Lesen verschiedenster Bücher, Tutorials und
> Skripten zu diesem Thema wird mir eines noch immer nicht
> bewusst.
>
> Sagen wir ich möchte die Konvergenz von [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen
> 0 beweisen (wenn n [mm]\to \infty),[/mm] so komme ich am Ende auf
> die Ungleichung [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] < n. In meinen
> Büchern steht nun dass der Beweis an dieser Stelle zuende
> ist und laut Archimedes die Konvergenz bewiesen ist.
>
> Nun meine Frage: Warum ist hier der Beweis zuende? Was
> genau sagt mir [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] < n? Was die
> einzelnen Variablen bedeuten verstehe ich, nur kann ich mir
> nicht erklären weshalb ich hier fertig bin.
>
> Vielen Dank im voraus
> Chris
Hallo Chris,
Der Beweis hängt natürlich von der exakten Definition ab. Die Übliche Definition der Konvergenz in einem geordneten Körper (beispielsweise den reellen Zahlen [mm] \IR [/mm] ) lautet:
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=a [/mm] genau dann, wenn zu jedem [mm] \varepsilon\in\IR, \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_\varepsilon\in\IN [/mm] existiert, so dass für alle [mm] n>N_\varepsilon [/mm] gilt: [mm] |a_n-a|<\varepsilon.
[/mm]
Betrachten wir die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=\frac{1}{n}, [/mm] müssen wir zunächst eine Vermutung über den Grenzwert anstellen, nämlich, wie du auch geschrieben hast [mm] \frac{1}{n}\to0. [/mm] Um diese zu beweisen, ist zu zeigen:
Zu jedem [mm] \varepsilon\in\IR, \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N_\varepsilon\in\IN [/mm] , so dass für alle [mm] n>N_\varepsilon [/mm] gilt: [mm] |\frac{1}{n}-0|<\varepsilon.
[/mm]
Da dies eine Aussage für unendlich viele [mm] \varepsilon [/mm] ist, ist es sinnvoll, zu zeigen, dass wenn wir ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig wählen, dass dann die Aussage wahr ist.
Sei daher [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig. Dann müssen wir ein [mm] N_\varepsilon [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] wählen. Wählen wir zum Beispiel [mm] N_\varepsilon>\frac{1}{\varepsilon}. [/mm] Für jedes [mm] n>N_\varepsilon [/mm] gilt dann [mm] n>N_\varepsilon>\frac{1}{\varepsilon}>0. [/mm] Durch Äquivalenzumformung erhalten wir [mm] \frac{1}{n}<\varepsilon.
[/mm]
Was sagt uns das jetzt? Wir haben ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig gewählt, das darauf Folgende gilt daher für jedes [mm] \varepsilon>0. [/mm] Wegen [mm] \varepsilon\not=0 [/mm] existiert sicher [mm] \frac{1}{\varepsilon}, [/mm] dies bezeichnen wir mit [mm] N_\varepsilon. [/mm] Für alle [mm] n>N_\varepsilon [/mm] gilt dann [mm] a_n=\frac{1}{n}<\varepsilon. [/mm] Dies ist genau, was die Definition der Konvergenz einfordert und wir haben gezeigt: [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
[/mm]
Viele Grüße,
[mm] \qquad [/mm] Axiom
P.S.: Ich habe das [mm] N_\varepsilon [/mm] jetzt einmal so abgeändert, dass dieser Beitrag wieder gültig sein sollte.
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Vielen Dank!
Verstehe ich nun also richtig, dass [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] mein N ist? Und ich somit beweise dass ein N existiert? Folglich also auch weitere n existieren und ich mich somit der 0 annäher?
Gruß
Chris
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Hallo,
> Vielen Dank!
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> Verstehe ich nun also richtig, dass [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> mein N ist?
Nein, denn der Bruch [mm] \bruch{1}{\epsilon} [/mm] wird io.a. keine natürlcihe Zahl sein. Du hast bewiesen, dass es zu jedem noch so kleinen (aber positiven) [mm] \epsilon [/mm] ein N gibt, ab dem alle weiteren Folgenglieder (in diesem Fall) kleiner als [mm] \bruch{1}{\epsilon} [/mm] sind.
> Und ich somit beweise dass ein N existiert?
> Folglich also auch weitere n existieren und ich mich somit
> der 0 annäher?
Ja, denn wie gesagt: du kannst [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig klein wählen, stets wird ein solches N existieren.
Gruß, Diophant
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Hm, jetzt bin ich wieder ein Stück weit ratloser..
Das stimmt natürlich dass eine natürliche Zahl kein Bruch sein kann. Dann ist doch auch $ [mm] N_\varepsilon:=\frac{1}{\varepsilon}. [/mm] $ aus dem Beitrag zuvor nicht korrekt, oder?
Wenn ich nun [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] < n habe verstehe ich noch immer nicht weshalb mir das versichert dass es für ein kleines [mm] \varepsilon [/mm] ein N gibt.
Ich denke es muss gleich einfach einmal Klick machen bis ich merke wie unnötig meine Fragen sind...
Gruß
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hm, jetzt bin ich wieder ein Stück weit ratloser..
>
> Das stimmt natürlich dass eine natürliche Zahl kein Bruch
> sein kann. Dann ist doch auch
> [mm]N_\varepsilon:=\frac{1}{\varepsilon}.[/mm] aus dem Beitrag zuvor
> nicht korrekt, oder?
Ja. In der Tat habe ich da etwas falsch gemacht. Richtigerweise hätte ich natürlich schreiben müssen: [mm] \IN\ni{}N_\varepsilon>\frac{1}{\varepsilon}. [/mm] Wichtig ist dabei nicht wie genau N aussieht, sondern nur dass ein derartiges N existiert.
> Wenn ich nun [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] < n habe verstehe ich
> noch immer nicht weshalb mir das versichert dass es für
> ein kleines [mm]\varepsilon[/mm] ein N gibt.
Hier greift wieder meine Argumentation von oben: Es ist [mm] \frac{1}{\varepsilon}N_\varepsilon. [/mm] Dies ist äquivalent zu [mm] a_n=\frac{1}{n}<\varepsilon [/mm] für alle n>N_varepsilon.
> Ich denke es muss gleich einfach einmal Klick machen bis
> ich merke wie unnötig meine Fragen sind...
Sind sie überhaupt nicht. Dass falsche Antworten von mir nicht gerade Klarheit schaffen ist kaum verwunderlich. Entschuldigung.
> Gruß
> Chris
Viele Grüße
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Ich weiß also dass es ein N > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] gibt. [mm] \varepsilon [/mm] beschreibt ja die Umgebung des Grenzwertes. Die Aussage was es mir im Divisor sagt ist mir dabei aber noch nicht klar.
Gruß
Chris
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Hallo,
> Ich weiß also dass es ein N > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] gibt.
> [mm]\varepsilon[/mm] beschreibt ja die Umgebung des Grenzwertes. Die
> Aussage was es mir im Divisor sagt ist mir dabei aber noch
> nicht klar.
es ist völlig wurscht, wo das Epsilon steht. Die Ungleichung besagt, dass es zu jedem noch so kleinen, aber positiven [mm] \varepsilon [/mm] ein N gibt, so dass alle Folgenglieder ab [mm] a_N [/mm] innerhalb der Epsilon-Umgebung liegen. Und da man dieses Epsilon beliebig klein wählen kann, ist damit die Konvergenz gegen den Grenzwert a bewiesen.
Gruß, Diophant
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Das ganze würde ich verstehen wenn das N kleiner wäre.. da es nun aber größer ist, also N > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] sieht es für mich aus als wäre das N nicht in diesem Bereich.
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Hallo,
> Das ganze würde ich verstehen wenn das N kleiner wäre..
> da es nun aber größer ist, also N >
> [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] sieht es für mich aus als wäre das
> N nicht in diesem Bereich.
Du verwechselst da IMO zwei fundamental unterschiedliche Dinge: die Folgenglieder selbst sowie ihre Indizes, also ihre Nummern. Das N ist die Nummer desjenigen Folgenglieds, ab dem für alle Folgenglieder in der Epsilon-Umgebung liegen. Deshalb muss dieser Ansatz bei erfolgreichem Nachweis von Konvergenz schlussendlich stets in der Form
[mm] N>f(\varepsilon)
[/mm]
enden, also dass N größer ist als irgendein Term, der nur noch von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt.
Gruß, Diophant
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Ich glaube ich habe es endlich verstanden!
Es ist also egal wo das [mm] \varepsilon [/mm] steht, solange ich sagen kann dass N größer ist als irgendein Term in dem [mm] \varepsilon [/mm] vorkommt (auch wenn es im Zähler/alleine, oder sonst wo steht).
Ist das richtig?
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Hallo,
genau so ist es.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 So 28.10.2012 | | Autor: | chris7953 |
Und ich dachte schon ich werde das in diesem Leben nicht mehr verstehen!
Vielen Dank an euch alle!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hm, jetzt bin ich wieder ein Stück weit ratloser..
>
> Das stimmt natürlich dass eine natürliche Zahl kein Bruch
> sein kann. Dann ist doch auch
> [mm]N_\varepsilon:=\frac{1}{\varepsilon}.[/mm] aus dem Beitrag zuvor
> nicht korrekt, oder?
aber das ist leicht zu korrigieren: Ich hab' Axiom eben einen kleinen
Korrekturhinweis geschrieben, als ich diesen Beitrag hier noch nicht
gelesen hatte, weil ich genau das befürchtet hatte, was hier entstanden
ist.
> Wenn ich nun [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] < n habe verstehe ich
> noch immer nicht weshalb mir das versichert dass es für
> ein kleines [mm]\varepsilon[/mm] ein N gibt.
Wenn Du hier "das minimal passende [mm] $N\,$" [/mm] finden willst, dann bastle
Dir halt eines mit der Gaußklammer und zeige, dass dieses [mm] $N\,$ [/mm] das
geforderte erfüllt und minimal ist.
Allerdings ist diese "Minimalitätseigenschaft" in der Definition nicht
verlangt, und je nach Aufgabe entsprechend hinreichend kompliziert.
Generell schaust Du hier sonst einfach in die Menge [mm] $\{k \in \IN:\;1/\varepsilon < k\}$ [/mm]
und pickst Dir IRGENDEINES davon heraus - das setzt natürlich voraus,
dass man begründen kann, dass bzw. warum diese Menge nicht leer
ist. Und da kommt der Archimedes auch ins Spiel...
Gruß,
Marcel
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Gaußklammer? Da versteh ich nur noch Bahnhof... ich habe mir deinen Verbesserungsvorschlag durchgelesen und verstehe noch immer nicht den Beweis.
Trotzdem vielen Dank für deine Bemühungen.
Gruß
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 So 28.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
Die Gaußklammer ist so definiert: [mm] [x]:=\max\{n\in\IZ:n\le{}x\} [/mm] , es wird also einfach nur die Zahl x auf die nächste ganze Zahl abgerundet - Marcel wollte dir zeigen, wie man das "optimale" [mm] N_\varepsilon [/mm] findet. Wie er aber bemerkt hat, ist dies bei der Definition überhaupt nicht notwendig, es reicht aus irgendein [mm] N_\varepsilon [/mm] mit den geforderten Eigenschaften zu finden. Lass dich davon am besten gar nicht verwirren.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 So 28.10.2012 | | Autor: | chris7953 |
Okay, das habe ich wenigstens jetzt sofort verstanden, danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 28.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gaußklammer? Da versteh ich nur noch Bahnhof...
[mm] $$\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor=\max\{k \in \IZ: k \le x\}\,,$$
[/mm]
das hatte Axiom ja schon gesagt!
> ich habe
> mir deinen Verbesserungsvorschlag durchgelesen und verstehe
> noch immer nicht den Beweis.
Alleine mit durchlesen und einsetzen der Ideen/Kommentare von anderen
ist es ja in der Mathematik auch nicht getan. Versuch', erstmal das gesagte
zu verstehen, und dann setze es nicht nur ein, sondern setze es ein und
versuche, selbst damit zu arbeiten und schaue, zu welchen Ergebnissen
Du kommst. Wenn Du zu den gleichen Ergebnissen kommst, ist es gut - bei
anderen besteht zumindest nochmal Kontrollbedarf.
Du darfst gerne auch auf anderem Wege zum Ziel kommen. Beispiel:
Man gebe die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $$x^2=5$$
[/mm]
mit $x [mm] \in \IR$ [/mm] an.
Jetzt komme ich und sage: Naja, dritte binomische Formel
[mm] $$x^2=5 \gdw x^2-5=0 \gdw (x+\sqrt{5})*(x-\sqrt{5})=0\,,$$
[/mm]
jetzt kommst Du sicher weiter.
Und jetzt siehst Du "Oh, da steht ja [mm] $\sqrt{5}$" [/mm] und schreibst mir:
"Hey, ja, so sehe ich, dass dieses Produkt genau dann Null wird, wenn
einer der Faktoren dies wird. Also [mm] $\IL=\{-\sqrt{5},\;\sqrt{5}\}$".
[/mm]
Und jetzt hattest Du dann eine andere Idee und fragst:
"Aber ich hab' mir folgendes noch überlegt: Bei [mm] $x^2=\sqrt{5}$ [/mm] kann man
doch die Wurzel ziehen: [mm] $x=\sqrt{5}\,.$ [/mm] Da fehlt aber was. Was mache ich
falsch?"
Dann schreibe ich: [mm] $\text{"}$Bedenke [/mm] halt, dass [mm] $x^2=\sqrt{5} \Rightarrow x=\sqrt{5}$
[/mm]
nur für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt! In Wahrheit gilt wegen
$$x [mm] \in \IR \Rightarrow \sqrt{x^2}=|x|$$ [/mm]
dann
[mm] $$x^2=5 \gdw \sqrt{x^2}=\sqrt{5} \gdw |x|=\sqrt{5} \gdw [/mm] ...$$"
Und dann diskutieren wir eventuell weiter. Was ich damit sagen will: Nimm'
nicht nur Antworten auf und "verarbeite" diese, sondern "arbeite selbstständig"
auch mit den Antworten. Ich hab' mir gerade Dein Profil nochmal angeguckt:
Auch in der Informatik erwartet man von Dir sowas. Denn man erwartet
von Dir auch "Analyse" von dem, was programmiert werden soll, auch
Verbesserungsvorschläge etc. pp.. Und nicht einfach nur eine "Übersetzung",
auch, wenn es natürlich ein beachtenswerter Teil für Dich sein wird, alles
in eine entsprechende Programmiersprache übersetzen zu müssen.
Generell kann man aber auch erstmal ganz gut mit "Pseudocodes" leben.
> Trotzdem vielen Dank für deine Bemühungen.
Trotzdem gern geschehen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
damit das ganze vielleicht klarer wird:
Man kann sich mal - wenn man hinreichend viel Zeit hat -
diese Diskussion
nochmal anschauen - aber bitte die folgenden Beiträge nicht außer
Acht lassen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:29 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Hallo zusammen,
> >
> > nach dem Lesen verschiedenster Bücher, Tutorials und
> > Skripten zu diesem Thema wird mir eines noch immer nicht
> > bewusst.
> >
> > Sagen wir ich möchte die Konvergenz von [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen
> > 0 beweisen (wenn n [mm]\to \infty),[/mm] so komme ich am Ende auf
> > die Ungleichung [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] < n. In meinen
> > Büchern steht nun dass der Beweis an dieser Stelle zuende
> > ist und laut Archimedes die Konvergenz bewiesen ist.
> >
> > Nun meine Frage: Warum ist hier der Beweis zuende? Was
> > genau sagt mir [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] < n? Was die
> > einzelnen Variablen bedeuten verstehe ich, nur kann ich mir
> > nicht erklären weshalb ich hier fertig bin.
> >
> > Vielen Dank im voraus
> > Chris
>
> Hallo Chris,
>
> Der Beweis hängt natürlich von der exakten Definition ab.
> Die Übliche Definition der Konvergenz in einem geordneten
> Körper (beispielsweise den reellen Zahlen [mm]\IR[/mm] ) lautet:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=a[/mm] genau dann, wenn zu jedem
> [mm]\varepsilon\in\IR, \varepsilon>0[/mm] ein [mm]N_\varepsilon\in\IN[/mm]
> existiert, so dass für alle [mm]n>N_\varepsilon[/mm] gilt:
> [mm]|a_n-a|<\varepsilon.[/mm]
>
> Betrachten wir die Folge [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n:=\frac{1}{n},[/mm]
> müssen wir zunächst eine Vermutung über den Grenzwert
> anstellen, nämlich, wie du auch geschrieben hast
> [mm]\frac{1}{n}\to0.[/mm] Um diese zu beweisen, ist zu zeigen:
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon\in\IR, \varepsilon>0[/mm] existiert ein
> [mm]N_\varepsilon\in\IN[/mm] , so dass für alle [mm]n>N_\varepsilon[/mm]
> gilt: [mm]|\frac{1}{n}-0|<\varepsilon.[/mm]
> Da dies eine Aussage für unendlich viele [mm]\varepsilon[/mm] ist,
> ist es sinnvoll, zu zeigen, dass wenn wir ein [mm]\varepsilon>0[/mm]
> beliebig wählen, dass dann die Aussage wahr ist.
>
> Sei daher [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig. Dann müssen wir ein
> [mm]N_\varepsilon[/mm] in Abhängigkeit von [mm]\varepsilon[/mm] wählen.
> Wählen wir zum Beispiel
> [mm]N_\varepsilon:=\frac{1}{\varepsilon}.[/mm]
wenn Du es so, wie oben, definiert benutzt, bekommst Du an dieser Stelle
ein Problem:
Du hast ja [mm] $N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] gefordert. Das wird bei
[mm] $N=1/\varepsilon$ [/mm] für genügend viele [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ "ein Problem",
das zu erfüllen!
Dieses vermeidet man, indem man die Gaußklammer benutzt:
[mm] $$N=N_\varepsilon=\lfloor 1/\varepsilon\rfloor+...\,,$$
[/mm]
und da man sich manchmal Gedanken machen muss, ob man dann das
[mm] $N\,$ [/mm] nicht vielleicht doch "ein klein bisschen zu klein" gewählt hat, addiert
man sicherheitshalber anstatt der ... evtl. noch eine passende Konstante
drauf - meist ist das mit [mm] $1\,$ [/mm] erledigt. (Oder man zerbricht sich anhand
von Beispielen unnötiger Weise den Kopf, ob die Definition des - "meist als
minimal betrachtet anzusehenden [mm] $N\,$ [/mm] (was sehr oft eigentlich nur
unnötig kompliziert ist!)" - auch wirklich minimal ist!)
> Für jedes
> [mm]n>N_\varepsilon[/mm] gilt dann
> [mm]n>N_\varepsilon=\frac{1}{\varepsilon}>0.[/mm] Durch
> Äquivalenzumformung erhalten wir [mm]\frac{1}{n}<\varepsilon.[/mm]
>
> Was sagt uns das jetzt? Wir haben ein [mm]\varepsilon>0[/mm]
> beliebig gewählt, das darauf Folgende gilt daher für
> jedes [mm]\varepsilon>0.[/mm] Wegen [mm]\varepsilon\not=0[/mm] existiert
> sicher [mm]\frac{1}{\varepsilon},[/mm] dies bezeichnen wir mit
> [mm]N_\varepsilon.[/mm] Für alle [mm]n>N_\varepsilon[/mm] gilt dann
> [mm]a_n=\frac{1}{n}<\varepsilon.[/mm] Dies ist genau, was die
> Definition der Konvergenz einfordert
Das hier ist jetzt kein Fehler, aber den Zwischenschritt
[mm] $$|a_n-0|=|1/n\;-0|=1/n$$
[/mm]
würde ich dazuschreiben!
> und wir haben gezeigt:
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.[/mm]
>
> Viele Grüße,
> [mm]\qquad[/mm] Axiom
P.S.
Wolfgang hat schonmal "muniert", dass man ja auch nicht wirklich das
[mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] notwendig in [mm] $\IN$ [/mm] fordern muss bei der
Konvergenzdefinition. Wenn man das nicht macht und die entsprechende
Definition so hinschreibt, ist das obige von Dir dann okay - Du hast aber
die $N [mm] \in \IN$-Forderung [/mm] da stehen, dann sollte man aufpassen.
Du kannst natürlich auch sagen:
Wir wählen irgendein $N [mm] \in \{k \in \IN: 1/\varepsilon < k\}\,.$ [/mm] Dann
braucht man natürlich, dass die rechtsstehende Menge nicht leer ist.
Und die Gaußklammer ist sowas wie die Anwendung des Satzes, dass
diese Teilmenge der natürlichen Zahlen stets ein Minimum hat...
P.P.S.
Entsprechend hatten wir auch schonmal eine ähnliche Diskussion
schonmal. Ich will Dich nur drauf aufmerksam machen: Achte strikt drauf,
in welchen Mengen man die Elemente auch fordert, oder erkläre, wann
oder warum das in gewissen Fällen egal ist. Andernfalls werden viele Leute
sich an - vielleicht Kleinigkeiten - genügend lange den Kopf zerbrechen und
dies bemängeln. Obwohl es auf die eigentlich wichtigen Überlegungen fast
keinen Einfluss hatte. Aber manchmal "veräppelt" man sich sonst auch
selbst...
So ist z.B., wenn man [mm] $\IQ$ [/mm] als Körper betrachtet, zu beachten:
Wir sagen, dass eine Folge [mm] $(q_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] konvergiert, wenn es
ein $q [mm] \in \red{\IQ}$ [/mm] so gibt, dass...
Eine Folge in [mm] $\IQ\,,$ [/mm] die als Folge in [mm] $\IR$ [/mm] gegen etwa [mm] $\sqrt{2} \in \IR$
[/mm]
konvergiert, wird in [mm] $\IQ$ [/mm] aber divergent sein. Das klingt erstmal komisch,
aber woran liegt das wohl - wenn man einfach mal auf die Definition
guckt? Aber das Beispiel hatte ich schonmal in ähnlicher Weise erwähnt...
Gruß,
Marcel
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