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| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktionsreihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} f_n(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \frac{e^-^n^x}{1+n^2}[/mm] . Begründe, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} f^,^,(x)=\summe_{n=1}^{\infty} (\frac{e^-^n^x}{1+n^2})^,^,[/mm] gilt und beweisen sie f(x)+f''(x)= [mm]\frac{1}{e^x-1}[/mm] |
Ich komme auf folgende ableitungen:
f´(x)=[mm]\frac{-n}{1+n^2}e^-^n^x[/mm]
f''(x)= [mm]\frac{n^2}{1+n^2}e^-^n^x[/mm]
f(x)+f´´(x)= [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\frac{e^-^n^x}{1+n^2}) + \summe_{n=1}^{\infty} (\frac{n^2e^-^n^x}{1+n^2})
\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} (\frac{n^2+1}{1+n^2}) e^-^n^x\Rightarrow\summe_{n=1}^{\infty} ({e^-^n^x}) [/mm]
Wie komme ich jetzt auf die genannte Lösung? Hat jemand ne Idee? Ein Tipp waren die geometrischen reihe, aber ich find nichts. vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Fr 15.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wo und wie hast du begründet, dass du gliedweise differenzien darfs?
2. sieh dir dein ergebnis an. entdeckst du ne geometrische Reihe? Aber dann ist ein Fehler in deiner Dgl.
deine schreibweise ist unsauber, abgeleitet hast du nicht f sondern [mm] f_n
[/mm]
Gruss leduart
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Die Abletungen sind doch richtig,oder?
Ich erkenne keine geometrische Reihe, dass ist es ja. nen tipp vom prof. war aber, dass wir uns die geometrische reihe anschauen sollen. was habe ich falsch gemacht?
Was meinst du genau mit unsauber.
danke und sorry, falls was unverständlich war
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Hallo martinmax1234,
> Die Abletungen sind doch richtig,oder?
Ja.
> Ich erkenne keine geometrische Reihe, dass ist es ja. nen
> tipp vom prof. war aber, dass wir uns die geometrische
Nun [mm]e^{-nx}[/mm] läßt sich in der Form [mm]y^ {n}[/mm] schreiben.
> reihe anschauen sollen. was habe ich falsch gemacht?
> Was meinst du genau mit unsauber.
Statt [mm]f[/mm] muß hier [mm]f_{\blue{n}}[/mm] stehen:
[mm]f_{\blue{n}}´(x)= \frac{-n}{1+n^2}e^{-nx}[/mm]
[mm]f_{\blue{n}}''(x)= \frac{n^2}{1+n^2}e^{-nx} [/mm]
[mm]f(x)+f''(x)= \summe_{n=1}^{\infty} (\frac{e^-^n^x}{1+n^2}) + \summe_{n=1}^{\infty} (\frac{n^2e^-^n^x}{1+n^2})
\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} (\frac{n^2+1}{1+n^2}) e^-^n^x\Rightarrow\summe_{n=1}^{\infty} ({e^-^n^x}) [/mm]
>
> danke und sorry, falls was unverständlich war
>
Gruss
MathePower
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Erstmal vielen lieben dank.
Stehe aber noch auf dem schlacuh, wie man [mm]e^-^n^x als \ y^n[/mm] schreiben lässt.
danke
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Hallo martinmax1234,
>
> Erstmal vielen lieben dank.
> Stehe aber noch auf dem schlacuh, wie man [mm]e^-^n^x als \ y^n[/mm]
> schreiben lässt.
Schau Dir hierzu die Potenzgesetze an.
>
> danke
>
Gruss
MathePower
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hab ich mir angeschaut, aber gelten die Potenzgestze auch bei der e funktion?
Das einzige, was ich aus den Potenzgestzen erkennen kann ist, dass
[mm]e^-^n^x=(e^-^n)^x \ist[/mm]
stehe echt auf dem schlauch.
sorry nochmal, ist mir wirklich unangenehm.
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Hallo martinmax1234,
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> hab ich mir angeschaut, aber gelten die Potenzgestze auch
> bei der e funktion?
>
> Das einzige, was ich aus den Potenzgestzen erkennen kann
> ist, dass
> [mm]e^-^n^x=(e^-^n)^x \ist[/mm]
Das ist doch schon mal gut.
Das kannst Du noch etwas anders schreiben:
[mm]e^{-nx}=(e^{-n})^{x}= (e^{-\blue{x}})^{\blue{n}}\ist[/mm]
>
> stehe echt auf dem schlauch.
> sorry nochmal, ist mir wirklich unangenehm.
>
Gruss
MathePower
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Na ok. ich sehs glaub ich jetzt.
[mm](e^-^x)^n[/mm] wir wählen jetzt [mm](e^-^x)[/mm]=y und erhalten [mm]y^n[/mm] sozusagen
Jetzt würde ich es in die geometrische reihe einsetzten:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}=x^n=\frac{1}{1-x}[/mm]
Diese Gleichung gilt aber nur für [mm]-1
In meiner Augabenstellung steht für [mm]0
Gibts da noch eine andere geometrische reihe?
Zweiter Punkt den ich erkannt habe, ist, dass ide geom. reihe von n=0 startet meine aber von n=1. D.h. ich müsste noch eine Summe für n=0 dazu addieren oder nicht?
Ich komme aber nicht auch das Ergebnis.
Vielen dank
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Hallo martinmax1234,
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> Na ok. ich sehs glaub ich jetzt.
>
> [mm](e^-^x)^n[/mm] wir wählen jetzt [mm](e^-^x)[/mm]=y und erhalten [mm]y^n[/mm]
> sozusagen
> Jetzt würde ich es in die geometrische reihe einsetzten:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}=x^n=\frac{1}{1-x}[/mm]
>
> Diese Gleichung gilt aber nur für [mm]-1
Für x musst Du [mm]e^{-x}[/mm] setzen.
>
> In meiner Augabenstellung steht für [mm]0
>
> Gibts da noch eine andere geometrische reihe?
>
> Zweiter Punkt den ich erkannt habe, ist, dass ide geom.
> reihe von n=0 startet meine aber von n=1. D.h. ich müsste
> noch eine Summe für n=0 dazu addieren oder nicht?
> Ich komme aber nicht auch das Ergebnis.
>
Von der Summenformel für die geometrische Reihe
musst Du noch was abziehen.
>
> Vielen dank
>
Gruss
MathePower
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