Fkt. als Potr. darst. die 2. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Di 28.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] |
Diese Funktion soll nun als Potenzreihe dargestellt werden.
In diesem Thread hier http://www.matheforum.net/read?i=539999
geht es um das gleiche Problem allerdings denke ich nun, da ich dort auf dem falschen Dampfer war. Ich habe inzwischen eine Musterlösung zu einer ähnlichen Aufgabe und der Lösungsweg ist viel kürzer, ich schreibe ihn hier als Beispiel mal hin:
f(x) = [mm] \wurzel{4+x^{2}} [/mm] = [mm] (4+x^{2})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] (4\* [1+\bruch{x^{2}}{4}])^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] 2\* (1+\bruch{x^{2}}{4})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
= 2 [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ k} (\bruch{x^{2}}{k})^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ k} \bruch{2}{4^{k}}\*x^{2k}
[/mm]
mit [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ k} \bruch{2}{4^{k}} [/mm] = [mm] a_{2k}
[/mm]
Nun kann ich für k einsetzen was ich möchte um so die ersten [mm] a_{k}s [/mm] zu bestimmen.
Zurück zu meiner Aufgabe:
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
Wenn ich richtig umgeformt habe müsste man es auch so schreiben können:
f(x) = [mm] {\wurzel\bruch{1}{1-x^{2}}} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{1-x^{2}})^\bruch{1}{2}
[/mm]
Wenn dies nun soweit stimmt, was wäre dann mein nächster Schritt?
Es stünde ja wenn ich das richtig sehe nun die Umformung an, welche mit dieser Zeile:
= $ (4* [mm] [1+\bruch{x^{2}}{4}])^{\bruch{1}{2}} [/mm] $ = $ 2* [mm] (1+\bruch{x^{2}}{4})^{\bruch{1}{2}} [/mm] $
Aus der Beispielaufgabe korrespondiert und damit habe ich so meine Probleme.
Greetz
Ganzir
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Hallo ganzir,
> f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
> Diese Funktion soll nun als Potenzreihe dargestellt
> werden.
>
> In diesem Thread hier
> http://www.matheforum.net/read?i=539999
>
> geht es um das gleiche Problem allerdings denke ich nun, da
> ich dort auf dem falschen Dampfer war. Ich habe inzwischen
> eine Musterlösung zu einer ähnlichen Aufgabe und der
> Lösungsweg ist viel kürzer, ich schreibe ihn hier als
> Beispiel mal hin:
>
> f(x) = [mm]\wurzel{4+x^{2}}[/mm] = [mm](4+x^{2})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> = [mm](4\* [1+\bruch{x^{2}}{4}])^{\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]2\* (1+\bruch{x^{2}}{4})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> = 2 [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ k} (\bruch{x^{2}}{k})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ k} \bruch{2}{4^{k}}\*x^{2k}[/mm]
>
> mit [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ k} \bruch{2}{4^{k}}[/mm] = [mm]a_{2k}[/mm]
>
> Nun kann ich für k einsetzen was ich möchte um so die
> ersten [mm]a_{k}s[/mm] zu bestimmen.
>
> Zurück zu meiner Aufgabe:
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
>
> Wenn ich richtig umgeformt habe müsste man es auch so
> schreiben können:
>
>
> f(x) = [mm]{\wurzel\bruch{1}{1-x^{2}}}[/mm] =
> [mm](\bruch{1}{1-x^{2}})^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wenn dies nun soweit stimmt, was wäre dann mein nächster
> Schritt?
>
> Es stünde ja wenn ich das richtig sehe nun die Umformung
> an, welche mit dieser Zeile:
>
> = [mm](4* [1+\bruch{x^{2}}{4}])^{\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]2* (1+\bruch{x^{2}}{4})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Es ist doch gemäß den Potenzgesetzen
[mm](\bruch{1}{1-x^{2}})^\bruch{1}{2}=\left(1-x^{2}\right)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
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> Aus der Beispielaufgabe korrespondiert und damit habe ich
> so meine Probleme.
>
> Greetz
> Ganzir
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Di 28.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Es ist doch gemäß den Potenzgesetzen
$ [mm] (\bruch{1}{1-x^{2}})^\bruch{1}{2}=\left(1-x^{2}\right)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] $ |
Danke da stand ich mal wieder voll auf dem Schlauch.
Das bringt mich ein ganzel Stück weiter:
[mm] (1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] (1+(-x^{2}))^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Nun habe ich wohl eine binomische Reihe mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Daher :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{-\bruch{1}{2} \\ k} (-x^{k})
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{-\bruch{1}{2} \\ k} (-1)^{k} (x^{2k})
[/mm]
Sofern das stimm muss ich nun
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n}{1} \bruch{n-1}{2} \bruch{n-2}{3}\cdots \bruch{n-k+1}{k}
[/mm]
anwenden.
Damit tue ich mich wieder besonders schwer, da mein k ja erst bei 0 startet und mein n < k ist kann ich mir nicht genau vorstellen, wie ich nun einsetzen muss, es wäre nett wenn jemand ein beispiel anhand der ersten 2 bis 3 aks geben könnten.
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Hallo ganzir,
> Es ist doch gemäß den Potenzgesetzen
>
> [mm](\bruch{1}{1-x^{2}})^\bruch{1}{2}=\left(1-x^{2}\right)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> Danke da stand ich mal wieder voll auf dem Schlauch.
>
> Das bringt mich ein ganzel Stück weiter:
>
>
> [mm](1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm](1+(-x^{2}))^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Nun habe ich wohl eine binomische Reihe mit [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Daher :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{-\bruch{1}{2} \\ k} (-x^{k})[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{-\bruch{1}{2} \\ k} (-1)^{k} (x^{2k})[/mm]
>
> Sofern das stimm muss ich nun
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n}{1} \bruch{n-1}{2} \bruch{n-2}{3}\cdots \bruch{n-k+1}{k}[/mm]
>
> anwenden.
>
> Damit tue ich mich wieder besonders schwer, da mein k ja
> erst bei 0 startet und mein n < k ist kann ich mir nicht
> genau vorstellen, wie ich nun einsetzen muss, es wäre nett
> wenn jemand ein beispiel anhand der ersten 2 bis 3 aks
> geben könnten.
Für k=0 ist [mm]\pmat{-\bruch{1}{2} \\ k}=\pmat{-\bruch{1}{2} \\ 0}:=1[/mm]
Für k>0 ist
[mm]\pmat{-\bruch{1}{2} \\ k}:=\bruch{\left(-\bruch{1}{2}\right) \* \ ... \ \* \left(-\bruch{1}{2}-k+1\right)}{1 \* \ ... \ \* k}[/mm]
[mm]a_{0}=1[/mm]
[mm]a_{1}=\bruch{\left(-\bruch{1}{2}\right)}{1}=-\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]a_{2}=\bruch{\left(-\bruch{1}{2}\right)}{1}=\bruch{\left(-\bruch{1}{2}\right) \* \left(-\bruch{3}{2}\right)}{1 \* 2}=+\bruch{3}{4 \* 2}=+\bruch{3}{8}[/mm]
[mm]a_{3}=\bruch{\left(-\bruch{1}{2}\right)}{3}=\bruch{\left(-\bruch{1}{2}\right) \* \left(-\bruch{3}{2}\right) \* \left(-\bruch{5}{2}\right)}{1 \* 2 \* 3}=-\bruch{15}{8 \* 6}=-\bruch{15}{48}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Di 28.04.2009 | | Autor: | ganzir |
Danke, ich konnte die Aufgabe nun lösen.
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