Grenzwertberechnung, e < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:08 Di 22.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Wie kommt man überhaupt auf die Ungleichung im Hinweis?
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} [/mm] = [mm] \frac{1}{0!} [/mm] + [mm] \frac{1}{1!} [/mm] + [mm] \frac{1}{2!} [/mm] + [mm] \frac{1}{3!} [/mm] + [mm] \frac{1}{4!} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] = 1 + 1 + [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{6} [/mm] + [mm] \frac{1}{24} +\cdots [/mm]
[mm] (1+1/n)^n= \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} 1^{n-k} \frac{1}{n^{k}}= \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} \frac{1}{n^{k}}= \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!*k!} [/mm] * [mm] \frac{1}{n^k} [/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!*k!}*\frac{1}{n^k}=\sum_{k=0}^n1/k!
[/mm]
Jetzt bin ich überfordert mit die rechte seite gegen unendlich gehen zu lassen.
exp(x)= [mm] \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{n!} [/mm]
exp(1) = e
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:12 Mi 23.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
hier wurde diese Frage auch schon mal diskutiert. Evtl. hilft dir das weiter.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke für den Querverweis, aber hilft mir nicht weiter - da ich mich an den Hinweis in der Angabe halten möchte. Es führen mehrere Wege zur Lösung - aber ich möchte schon den des Hinweises nachgehen.
Ich hab ja in Post 1 gezeigt:
[mm] lim_{n->\infty} (1+1/n)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] 1/k!
(wenn das so stimmt, vlt kann mir wer Beitrag 1 korrigieren)
Jetzt soll ich laut Hinweis schauen gegen was der term konvergiert n-> [mm] \infty
[/mm]
1 +1 $ [mm] +\frac{1}{2!}\cdot{}(1-1/n)+..+\frac{1}{k!} [/mm] $ (1- 1/n) *(1- 2/n) .. (1- $ [mm] \frac{k-1}{n}) [/mm] $
Aber wie mache ich das, ich schaffs nichmal den term in einer Summe kompakt anzuschreiben ._.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Querverweis, aber hilft mir nicht weiter -
> da ich mich an den Hinweis in der Angabe halten möchte. Es
> führen mehrere Wege zur Lösung - aber ich möchte schon
> den des Hinweises nachgehen.
>
> Ich hab ja in Post 1 gezeigt:
> [mm]lim_{n->\infty} (1+1/n)^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n[/mm] 1/k!
Das stimmt nicht.
Die rechte Seite Deiner Gl. hängt noch von n ab !
> (wenn das so stimmt, vlt kann mir wer Beitrag 1
> korrigieren)
>
> Jetzt soll ich laut Hinweis schauen gegen was der term
> konvergiert n-> [mm]\infty[/mm]
> 1 +1 [mm]+\frac{1}{2!}\cdot{}(1-1/n)+..+\frac{1}{k!}[/mm] (1- 1/n)
> *(1- 2/n) .. (1- [mm]\frac{k-1}{n})[/mm]
> Aber wie mache ich das, ich schaffs nichmal den term in
> einer Summe kompakt anzuschreiben ._.
Für k [mm] \ge [/mm] 2 lautet die Summe so:
[mm] $S_n:= 1+1+\summe_{j=2}^{k}\bruch{1}{j!}(1-1/n)*(1-2/n)*...*(1-\bruch{j-1}{n})$
[/mm]
ist j [mm] \in \{2,...,k\}, [/mm] so gilt:
[mm] $(1-1/n)*(1-2/n)*...*(1-\bruch{j-1}{n}) \to [/mm] 1$ für n [mm] \to \infty,
[/mm]
also
[mm] S_n \to 1+1+\summe_{j=2}^{k}\bruch{1}{j!}=\summe_{j=0}^{k}\bruch{1}{j!} [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Teil 2 schau ich mir danach gleich an ;)
> Das stimmt nicht.
> Die rechte Seite Deiner Gl. hängt noch von n ab !
Stimmt.
Ich hab in 1 Post [mm] (1+1/n)^n [/mm] umgeformt, das stimmt ja noch?
[mm] $\lim_{n->\infty} \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!\cdot{}k!} [/mm] * [mm] \frac{1}{n^k} [/mm] $ muss ich nun ausrechnen-
$ [mm] \lim_{n->\infty} \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!\cdot{}k!} [/mm] * [mm] \frac{1}{n^k} [/mm] = [mm] \lim_{n->\infty} \sum_{k=0}^n \frac{n*(n-1)*(n-2)*..*(n-k+1)}{n^k } [/mm] * [mm] \frac{1}{k!}$
[/mm]
Ich hab im Zähler sowie im Nenner k Faktoren .
Ich dachte wenn man die auf einzelne Brüche schreibt ist immer 1 der Grenzwert.
und es würde [mm] \lim_{n->\infty}\sum_{k=0}^n{1/k!} [/mm] überbleiben
Ist das nun korrekt?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:49 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo nochmal
also:
(1+ $ [mm] 1/n)^n [/mm] $ > 1 +1 $ [mm] +\frac{1}{2!}\cdot{}(1-1/n)+..+\frac{1}{k!} [/mm] $ (1- 1/n) *(1- 2/n) .. (1- $ [mm] \frac{k-1}{n}) [/mm] $
Nun ist Gezeigt (letzte Postings):
[mm] lim_{n->\infty} [/mm] (1+ [mm] 1/n)^n =lim_{n-> \infty} \sum_{k=0}^n1/k! [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} [/mm] 1 +1 [mm] +\frac{1}{2!}\cdot{}(1-1/n)+..+\frac{1}{k!} [/mm] (1- 1/n) *(1- 2/n) .. (1- [mm] \frac{k-1}{n}) [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^k [/mm] 1/j!
Was soll ich nun machen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Weiß hier keiner Rat, wie ich das am schluss machen kann?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 28.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Sa 26.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die aussage ist zwar richtig, aber ich seh nicht, wo du sie gezeigt hast, schreib mal die letzten paar Glieder der Summe hin, und zeig, was du meinst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Ich habe doch in jeden SChritt erklärt was ich mache, was ist da genau unklar?
Ich brauche Hilfe am schluss beim Vergleichskriterium (siehe nächsten Post von mir)
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