Grenzwerte von Mengenfolgen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Di 08.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Seien [mm] \Omega [/mm] eine nichtleere Menge und [mm] {A_{n}}_{n\in \IN} [/mm] eine Folge in [mm] P(\Omega). [/mm] Dann definiert man den Limes inferior und den Limes superior der Mengenfolge [mm] {A_{n}}_{n \in \IN} [/mm] als
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k} [/mm] bzw [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}.
[/mm]
Zeigen Sie:
(i) [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} [/mm] inf [mm] A_{n} [/mm] = { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] \omega \in A_{n} [/mm] für schließlich alle n [mm] \in \IN [/mm] }
(ii) [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} [/mm] sup [mm] A_{n} [/mm] = { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] \omega \in A_{n} [/mm] für unendlich viele n [mm] \in \IN [/mm] } |
Hallo,
ich möchte obige Aufgabe lösen. Aber irgendwie weiß ich noch nicht genau wie... und vor allem wo ich anfangen soll.
also ich würde jetzt am anfang nehmen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k} [/mm] = ... ={ [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] \omega \in A_{n} [/mm] für schließlich alle n [mm] \in \IN [/mm] }
Nur das wo ... steht weiß ich ned was reingehört.
KAnn mir jemand eine Seite im Internet sagen, welches mir die Problematik bei der Aufgabe verdeutlicht und erklärt?
Ich habe mir das Buch von Georgii jetzt geholt. Gibt es dort Aufgaben oder erklärungen die mir das Lösen dieser Aufgabe erleichtern?
Oder kann mir jemand gleich einen Tipp geben???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Di 08.10.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Ali,
vielleicht kannst du hier Honig saugen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 09.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Moin Ali,
>
> vielleicht kannst du
> hier Honig saugen.
Danke luis52,
ich habe das ganze nun mal etwas abgeschaut und versucht es so zu bearbeiten:
Sei [mm] \omega \in \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}. [/mm] Dann ist auch [mm] \omega \in \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k} [/mm] für ein n. Mithin ist [mm] \omega \in A_{k} [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] n. Damit ist [mm] \omega \in [/mm] M. Ist umgekehrt [mm] \omega \in [/mm] M, so gibt es nur endlich viele Zahlen [mm] m_{1}, [/mm] ..., [mm] m_{k} [/mm] mit [mm] \omega \notin A_{k}. [/mm] Sei n'-1 die größte dieser Zahlen. Dann ist [mm] \omega \in (\bigcap_{k \ge n'}A_{k} \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})= \liminf_{n \rightarrow \infty}A_{n}.
[/mm]
Also meine Gedankengänge waren folgende:
wenn ich ein [mm] \omega [/mm] nehme, zuerst alles bis ins unendliche vereine dann ab einem gewissen k noch schneide, dann muss alles was beim ersten k und beim letzten in der menge ist als schnittmenge wiederrum drin sein. Und wenn ich ein [mm] \omega [/mm] nehme und rückwärts gehe, dann gibt es ja ein [mm] \omega [/mm] welches wiederrum nicht in meiner menge ist. eigentlich allgemein verständlich. und auch der letzte satz ist trivial.
stimmt das alles so????
Also oben hab ich alles mathematisch korrekt versucht hinzuschreiben und unten einfach nur so in meinem studentendeutsch.
danke danke!!!
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mi 09.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Moin Ali,
> >
> > vielleicht kannst du
> > hier Honig saugen.
>
> Danke luis52,
>
> ich habe das ganze nun mal etwas abgeschaut und versucht es
> so zu bearbeiten:
>
> Sei [mm]\omega \in \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n}[/mm] =
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}.[/mm] Dann ist
> auch [mm]\omega \in \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k}[/mm] für ein n.
> Mithin ist [mm]\omega \in A_{k}[/mm] für alle k [mm]\ge[/mm] n. Damit ist
> [mm]\omega \in[/mm] M.
Wenn bei Dir M= [mm] \{ \omega \in \Omega | \omega \in A_{n} fuer \quad schliesslich \quad alle \quad n \in \IN \} [/mm] ist, so stimmts bis hierher.
> Ist umgekehrt [mm]\omega \in[/mm] M, so gibt es nur
> endlich viele Zahlen [mm]m_{1},[/mm] ..., [mm]m_{k}[/mm] mit [mm]\omega \notin A_{k}.[/mm]
> Sei n'-1 die größte dieser Zahlen. Dann ist [mm]\omega \in (\bigcap_{k \ge n'}A_{k} \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})= \liminf_{n \rightarrow \infty}A_{n}.[/mm]
Ja, auch das stimmt.
>
> Also meine Gedankengänge waren folgende:
>
> wenn ich ein [mm]\omega[/mm] nehme, zuerst alles bis ins unendliche
> vereine dann ab einem gewissen k noch schneide, dann muss
> alles was beim ersten k und beim letzten in der menge ist
> als schnittmenge wiederrum drin sein. Und wenn ich ein
> [mm]\omega[/mm] nehme und rückwärts gehe, dann gibt es ja ein
> [mm]\omega[/mm] welches wiederrum nicht in meiner menge ist.
> eigentlich allgemein verständlich.
Neee. Das ist Geschwafel !
FRED
> und auch der letzte
> satz ist trivial.
>
> stimmt das alles so????
>
> Also oben hab ich alles mathematisch korrekt versucht
> hinzuschreiben und unten einfach nur so in meinem
> studentendeutsch.
>
> danke danke!!!
>
> Grüße
> Ali
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:13 Do 10.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
ok. danke fred.
> > > Moin Ali,
> > >
> > > vielleicht kannst du
> > > hier Honig saugen.
> >
> > Danke luis52,
> >
> > ich habe das ganze nun mal etwas abgeschaut und versucht es
> > so zu bearbeiten:
> >
> > Sei [mm]\omega \in \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n}[/mm] =
> > [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}.[/mm] Dann ist
> > auch [mm]\omega \in \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k}[/mm] für ein n.
> > Mithin ist [mm]\omega \in A_{k}[/mm] für alle k [mm]\ge[/mm] n. Damit ist
> > [mm]\omega \in[/mm] M.
>
>
> Wenn bei Dir M= [mm]\{ \omega \in \Omega | \omega \in A_{n} fuer \quad schliesslich \quad alle \quad n \in \IN \}[/mm]
> ist, so stimmts bis hierher.
ja, [mm] M:=\{ \omega \in \Omega | \omega \in A_{n} fuer \quad schliesslich \quad alle \quad n \in \IN \}
[/mm]
>
>
>
> > Ist umgekehrt [mm]\omega \in[/mm] M, so gibt es nur
> > endlich viele Zahlen [mm]m_{1},[/mm] ..., [mm]m_{k}[/mm] mit [mm]\omega \notin A_{k}.[/mm]
> > Sei n'-1 die größte dieser Zahlen. Dann ist [mm]\omega \in (\bigcap_{k \ge n'}A_{k} \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})= \liminf_{n \rightarrow \infty}A_{n}.[/mm]
>
> Ja, auch das stimmt.
> >
> > Also meine Gedankengänge waren folgende:
> >
> > wenn ich ein [mm]\omega[/mm] nehme, zuerst alles bis ins unendliche
> > vereine dann ab einem gewissen k noch schneide, dann muss
> > alles was beim ersten k und beim letzten in der menge ist
> > als schnittmenge wiederrum drin sein. Und wenn ich ein
> > [mm]\omega[/mm] nehme und rückwärts gehe, dann gibt es ja ein
> > [mm]\omega[/mm] welches wiederrum nicht in meiner menge ist.
> > eigentlich allgemein verständlich.
>
> Neee. Das ist Geschwafel !
Hast recht :-(.
>
> FRED
>
> > und auch der letzte
> > satz ist trivial.
> >
> > stimmt das alles so????
> >
> > Also oben hab ich alles mathematisch korrekt versucht
> > hinzuschreiben und unten einfach nur so in meinem
> > studentendeutsch.
> >
> > danke danke!!!
> >
> > Grüße
> > Ali
> >
>
Hier nun der Lösungsvorschlag zum zweiten teil:
Sei zunächst [mm] \omega \in \limsup_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}. [/mm] Dann ist [mm] \omega \in \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Angenommen, es gäbe nur endlich viele indices [mm] n_{1}, [/mm] ..., [mm] n_{k} [/mm] mit [mm] \omega \in A_{ni}. [/mm] Sei n'-1 die größte dieser Zahlen. Dann ist [mm] \omega \notin \bigcup_{k=n'}^{\infty} A_{k}. [/mm] Das aber ist ein Widerspruch.
Sei umgekehrt [mm] \omega \in A_{j} [/mm] für unendlich viele j [mm] \in \IN. [/mm] Dann ist [mm] \omega \in \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k} [/mm] für beliebiges n [mm] \in \IN, [/mm] denn anderenfalls wäre [mm] \omega [/mm] kein Element von unendlich vielen Mengen [mm] A_{j}. [/mm] Mithin ist [mm] \omega \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}.
[/mm]
stimmt das so???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Do 10.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> ok. danke fred.
>
> > > > Moin Ali,
> > > >
> > > > vielleicht kannst du
> > > > hier Honig saugen.
> > >
> > > Danke luis52,
> > >
> > > ich habe das ganze nun mal etwas abgeschaut und versucht es
> > > so zu bearbeiten:
> > >
> > > Sei [mm]\omega \in \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n}[/mm] =
> > > [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}.[/mm] Dann ist
> > > auch [mm]\omega \in \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k}[/mm] für ein n.
> > > Mithin ist [mm]\omega \in A_{k}[/mm] für alle k [mm]\ge[/mm] n. Damit ist
> > > [mm]\omega \in[/mm] M.
> >
> >
> > Wenn bei Dir M= [mm]\{ \omega \in \Omega | \omega \in A_{n} fuer \quad schliesslich \quad alle \quad n \in \IN \}[/mm]
> > ist, so stimmts bis hierher.
> ja, [mm]M:=\{ \omega \in \Omega | \omega \in A_{n} fuer \quad schliesslich \quad alle \quad n \in \IN \}[/mm]
>
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> >
> > > Ist umgekehrt [mm]\omega \in[/mm] M, so gibt es nur
> > > endlich viele Zahlen [mm]m_{1},[/mm] ..., [mm]m_{k}[/mm] mit [mm]\omega \notin A_{k}.[/mm]
> > > Sei n'-1 die größte dieser Zahlen. Dann ist [mm]\omega \in (\bigcap_{k \ge n'}A_{k} \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})= \liminf_{n \rightarrow \infty}A_{n}.[/mm]
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> > Ja, auch das stimmt.
> > >
> > > Also meine Gedankengänge waren folgende:
> > >
> > > wenn ich ein [mm]\omega[/mm] nehme, zuerst alles bis ins unendliche
> > > vereine dann ab einem gewissen k noch schneide, dann muss
> > > alles was beim ersten k und beim letzten in der menge ist
> > > als schnittmenge wiederrum drin sein. Und wenn ich ein
> > > [mm]\omega[/mm] nehme und rückwärts gehe, dann gibt es ja ein
> > > [mm]\omega[/mm] welches wiederrum nicht in meiner menge ist.
> > > eigentlich allgemein verständlich.
> >
> > Neee. Das ist Geschwafel !
> Hast recht :-(.
>
> >
> > FRED
> >
> > > und auch der letzte
> > > satz ist trivial.
> > >
> > > stimmt das alles so????
> > >
> > > Also oben hab ich alles mathematisch korrekt versucht
> > > hinzuschreiben und unten einfach nur so in meinem
> > > studentendeutsch.
> > >
> > > danke danke!!!
> > >
> > > Grüße
> > > Ali
> > >
> >
>
> Hier nun der Lösungsvorschlag zum zweiten teil:
>
> Sei zunächst [mm]\omega \in \limsup_{n \rightarrow \infty} A_{n}[/mm]
> = [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}.[/mm] Dann
> ist [mm]\omega \in \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> Angenommen, es gäbe nur endlich viele indices [mm]n_{1},[/mm] ...,
> [mm]n_{k}[/mm] mit [mm]\omega \in A_{ni}.[/mm] Sei n'-1 die größte dieser
> Zahlen. Dann ist [mm]\omega \notin \bigcup_{k=n'}^{\infty} A_{k}.[/mm]
> Das aber ist ein Widerspruch.
>
> Sei umgekehrt [mm]\omega \in A_{j}[/mm] für unendlich viele j [mm]\in \IN.[/mm]
> Dann ist [mm]\omega \in \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}[/mm] für
> beliebiges n [mm]\in \IN,[/mm] denn anderenfalls wäre [mm]\omega[/mm] kein
> Element von unendlich vielen Mengen [mm]A_{j}.[/mm] Mithin ist
> [mm]\omega \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}.[/mm]
>
>
> stimmt das so???
Ja, alles richtig.
FRED
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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