Herleitung Partialsummen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Di 03.10.2006 | | Autor: | ct2oo4 |
Hi Leute...
bin neu hier, gerade erst angemeldet und zwar aus folgendem Grund:
Ich habe die Aufgabe bekommen die expliziten Bildungsvorschriften für Partialsummen von arithmetischen sowie geometrischen Zahlenfolgen herzuleiten...
Und jetzt mein Problem ich habe absolut KEINE Ahnung :-((
Ich brauche die Herleitungen folgender Formeln:
* Partialsummen arithmetischer Zahlenfolgen:
$ [mm] s_n [/mm] $ = $ [mm] na_1 [/mm] $ + $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] $ d
$ [mm] s_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n}{2} (a_1 [/mm] $ + $ [mm] a_n) [/mm] $
hierzu habe ich bereits https://matheraum.de/read?t=135567
gelesen, aber leider nichts kapiert... speziell diese nicht: $ [mm] s_{n}=na_{1}+\bruch{n(n-1)}{2}\cdot{}d [/mm] $
...
Außerdem brauche ich die Herleitung der Patialsummen geometischer Zahlenfolgen:
[mm] a_1 \bruch{q^n-1}{q-1} [/mm]
und
[mm] \bruch{a_nq-a_1}{q-1} [/mm]
DANKE schon jetzt fürs richtige beantworten!!!
achja:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß!
thx schon im vorraus!!! Is wirklich dringend!!!
Matze
Leistungskurs Mathe 11 Gymnasium - Sachsen
p.s.: euer Formelsystem hier is ja voll klasse!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ct2004,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Schreiben wir uns doch einfach mal auf, was die Partialsumme der arithmetischen Folge [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1+(n-1)*d$ ($\leftarrow$ explizite Formel für aritmetische Folgenglieder) bedeutet:
$s_n \ = \ a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n$
Setzen wir nun die o.g. Formel für die einzelnen Glieder $a_2, \ a_3, \ ...$ ein:
$s_n \ = \ a_1+[a_1+1*d]+[a_1+2*d]+...+[a_1+(n-2)*d]+[a_1+(n-1)*d]$
Die eckigen Klammern können wir nun weglassen und wir sortieren etwas um:
$s_n \ = \ \underbrace{a_1+a_1+a_1+...+a_1+a_1}_{\text{= n Summanden = n-mal}}+\underbrace{1*d+2*d+...+(n-2)*d+(n-1)*d}_{\text{= (n-1) Summanden}}$
Nun können wir beim ersten Teil zusammenfassen zu $n*a_1$ und beim 2. Teil klammern wir zunächst $d_$ aus:
$s_n \ = \ n*a_1+d*\blue{[1+2+...+(n-2)+(n-1)]}$
Für den Ausdruck $1+2+...+(n-2)+(n-1) \ = \ \summe_{k=1}^{n-1}k$ setzen wir nun folgende Formel ein
(siehe auch [/mm] hier):
[mm] $\summe_{k=1}^{n-1}k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n-1)*(n-1+1)}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n-1)}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $s_n [/mm] \ = \ [mm] n*a_1+d*\blue{ \bruch{n*(n-1)}{2}}$
[/mm]
Wenn wir nun [mm] $\bruch{n}{2}$ [/mm] ausklammern, erhalten wir:
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left[2*a_1+(n-1)*d\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left[ \ a_1+ \ \underbrace{a_1+(n-1)*d}_{= \ a_n} \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left[ \ a_1+a_n \ \right]$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ct2004!
Bei der geometrischen Reihe für geometrische Folgen [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1*q^{n-1}$ [/mm] gehen wir etwas anders vor:
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] a_1+a_2+a_3+...+a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1+a_1*q^1+a_1*q^2+...+a_1*q^{n-1}$
[/mm]
Nun multiplizieren wir diese Gleichung mit $q \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ :
[mm] $q*s_n [/mm] \ = \ [mm] a_1*q^1+a_1*q^2+...+a_1*q^{n-1}+a_1*q^n$
[/mm]
Ziehen wir nun die 1. Gleichung von der 2. Gleichung ab, erhalten wir:
[mm] $q*s_n-s_n [/mm] \ = \ [mm] \left( \ a_1*q^1+a_1*q^2+...+a_1*q^{n-1}+\red{a_1*q^n} \ \right) [/mm] - [mm] \left( \ \red{a_1}+a_1*q^1+a_1*q^2+...+a_1*q^{n-1} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] a_1*q^1+a_1*q^2+...+a_1*q^{n-1}+\red{a_1*q^n}-\red{a_1}-a_1*q^1-a_1*q^2-...-a_1*q^{n-1} [/mm] \ = \ [mm] a_1*q^n-a_1$
[/mm]
Nun diese Gleichung nach [mm] $s_n [/mm] \ = \ ...$ umstellen (Ausklammern etc.) ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 So 15.10.2006 | | Autor: | ct2oo4 |
Danke!
kann geschlossen werden
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