Induktionsbew a^n + 1/a^n € Z < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Sa 01.12.2012 | | Autor: | jollo |
| Aufgabe | | Sei a ungleich 0 eine reelle Zahl, so dass a + 1/a € Z. Zeigen sie, dass [mm] a^n [/mm] + [mm] 1/a^n [/mm] € Z für alle n € N |
Also ich komme nicht weiter. Habe mir jetzt 3h gedanken über die aufgabe gemacht ich komm aber nicht weiter.
Folgende überlegungen habe ich mir bereits gemacht:
Beweis mit vollständiger Induktion: für n=1 ist klar weil durch voraussetzung ja schon gegeben. für n+1 will mir aber einfach keine idee der umformung kommen..
a^(n+1) + 1/a^(n+1)
= [mm] a^n [/mm] * a + a^-n * a^-1....
habe mir auch schon überlegt dass wenn da [mm] (a^n [/mm] + a^(-n)) *(a + a^(-1)) stände dass ich dann fertig wäre.. aber ich komme nicht auf eine Umformung dass is dort hinkommen.. gibt es noch eine andere Möglichkeit?
Bitte um Hilfe ich komm echt nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei a ungleich 0 eine reelle Zahl, so dass a + 1/a € Z.
> Zeigen sie, dass [mm]a^n[/mm] + [mm]1/a^n[/mm] € Z für alle n € N
> Also ich komme nicht weiter. Habe mir jetzt 3h gedanken
> über die aufgabe gemacht ich komm aber nicht weiter.
> Folgende überlegungen habe ich mir bereits gemacht:
>
> Beweis mit vollständiger Induktion: für n=1 ist klar
> weil durch voraussetzung ja schon gegeben. für n+1 will
> mir aber einfach keine idee der umformung kommen..
>
> a^(n+1) + 1/a^(n+1)
> = [mm]a^n[/mm] * a + a^-n * a^-1....
> habe mir auch schon überlegt dass wenn da [mm](a^n[/mm] + a^(-n))
> *(a + a^(-1)) stände dass ich dann fertig wäre.. aber ich
> komme nicht auf eine Umformung dass is dort hinkommen..
> gibt es noch eine andere Möglichkeit?
> Bitte um Hilfe ich komm echt nicht weiter.
ich hab' das mit der vollst. Ind. nun nicht gelesen, da sollte noch jemand
anderes nochmal drübergucken (deswegen steht die Frage auch erstmal
nur auf halb beantwortet):
Ich würde die Aufgabe einfach mal so angehen:
Sei [mm] $z:=a+1/a\,,$ [/mm] dann ist nach Voraussetzung $z [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Folglich ist
auch [mm] $z^n \in \IZ$ [/mm] und wegen
[mm] $$z^n=\left(a+\frac 1 a\right)^n=a^n+\frac{1}{a^n}+\sum_{k=1}^{n-1} [/mm] {n [mm] \choose k}a^k/a^{n-k}=a^n+\frac{1}{a^n}+\sum_{k=1}^{n-1} [/mm] {n [mm] \choose k}a^{2k-n}$$
[/mm]
reicht es wohl, sich mal die Summe
[mm] $$\sum_{k=1}^{n-1} [/mm] {n [mm] \choose k}a^{2k-n}$$
[/mm]
genauer anzugucken.
Wenn das nicht hilft (denn genau angeguckt habe ich mir das noch nicht)
oder es nur komplizierter macht:
Vielleicht hilft's ja auch, mit
$$z=a+1/a [mm] \Rightarrow (z*a)^n=(a^2+1)^n$$
[/mm]
zu arbeiten...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Sa 01.12.2012 | | Autor: | jollo |
Danke für die Ideen ist interessant auch mal mit anderen Beweistechniken in Kontakt zu kommen;) habs jetzt mit nem anderen Lösungshinweis geschaft, werds aber auch mit deinen nochmal probieren. Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Sa 01.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei a ungleich 0 eine reelle Zahl, so dass a + 1/a € Z.
> Zeigen sie, dass [mm]a^n[/mm] + [mm]1/a^n[/mm] € Z für alle n € N
Sei $a + 1/a = z$ mit $z [mm] \in \IZ$. [/mm] Dann ist [mm] $a^2 [/mm] - z a + 1 = 0$, also [mm] $z^2 [/mm] = a z - 1$.
Weiterhin ist $1/a + a = z$, also [mm] $(a^{-1})^2 [/mm] + 1 = z [mm] \cdot a^{-1}$ [/mm] und damit wieder [mm] $a^{-2} [/mm] = z [mm] \cdot a^{-1} [/mm] - 1$.
> Also ich komme nicht weiter. Habe mir jetzt 3h gedanken
> über die aufgabe gemacht ich komm aber nicht weiter.
> Folgende überlegungen habe ich mir bereits gemacht:
>
> Beweis mit vollständiger Induktion: für n=1 ist klar
> weil durch voraussetzung ja schon gegeben. für n+1 will
> mir aber einfach keine idee der umformung kommen..
>
> a^(n+1) + 1/a^(n+1) = [mm]a^n[/mm] * a + a^-n * a^-1....
Guter Anfang. Du kannst aber auch [mm] $a^{n+1} [/mm] = [mm] a^{n-1} \cdot a^2 [/mm] + [mm] 1/a^{n+1} [/mm] = [mm] 1/a^{n-1} \cdot a^{-2}$ [/mm] schreiben.
Verwende jetzt [mm] $a^2 [/mm] = ...$ und [mm] $a^{-2} [/mm] = ...$. Dann verwende die Induktionsvoraussetzung fuer $n$ und $n-1$, und schon bist du fertig.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Sa 01.12.2012 | | Autor: | jollo |
Dankeschön für die Hilfestellung, in kombination mit dem anderen Hinweis zur Induktion sehr hilfreich! Auch dir danke:)
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Hallo jollo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei a ungleich 0 eine reelle Zahl, so dass a + 1/a € Z.
> Zeigen sie, dass [mm]a^n[/mm] + [mm]1/a^n[/mm] € Z für alle n € N
> Also ich komme nicht weiter. Habe mir jetzt 3h gedanken
> über die aufgabe gemacht ich komm aber nicht weiter.
> Folgende überlegungen habe ich mir bereits gemacht:
>
> Beweis mit vollständiger Induktion: für n=1 ist klar
> weil durch voraussetzung ja schon gegeben. für n+1 will
> mir aber einfach keine idee der umformung kommen..
>
> a^(n+1) + 1/a^(n+1)
> = [mm]a^n[/mm] * a + a^-n * a^-1....
> habe mir auch schon überlegt dass wenn da [mm](a^n[/mm] + a^(-n))
> *(a + a^(-1)) stände dass ich dann fertig wäre.. aber ich
> komme nicht auf eine Umformung dass is dort hinkommen..
> gibt es noch eine andere Möglichkeit?
> Bitte um Hilfe ich komm echt nicht weiter.
Noch ein bisschen anders.
Vorab mal [mm] \left(a+\bruch{1}{a}\right)^2=a^2+2a*\bruch{1}{a}+\bruch{1}{a^2}=a^2+\bruch{1}{a^2}+2.
[/mm]
Damit ist die Behauptung also für n=1 und n=2 erfüllt.
Da setzen wir auch den Induktionsanfang.
Als Induktionsvoraussetzung also: [mm] a^{n-1}+\bruch{1}{a^{n-1}}\in\IZ [/mm] und [mm] a^n+\bruch{1}{a^n}\in\IZ.
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] \left(a^n+\bruch{1}{a^n}\right)*\left(a+\bruch{1}{a}\right)=a^{n+1}+a^{n-1}+\bruch{1}{a^{n-1}}+\bruch{1}{a^{n+1}}
[/mm]
[mm] \cdots
[/mm]
Also ist auch [mm] a^{n+1}+\bruch{1}{a^{n+1}}\in\IZ.
[/mm]
Das ist im Prinzip nichts anderes als der Weg von Felix.
Klar muss hier nur sein, dass für den Schluss von n auf n+1 auch n-1 mit berücksichtigt werden muss. Daher der zweischrittige Anfang und die zweischrittige Voraussetzung.
Grüße
reverend
Wenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Sa 01.12.2012 | | Autor: | jollo |
Danke auch dir! Habs jetzt deine Strategie mal auf dem Lösungszettel probiert, hat auch wunderbar geklappt;) Richtig cooles Forum, hilft nem erstsemestler wie mir echt super weiter. Auch dir Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo jollo,
Dieselbe Aufgabe wurde auch hier diskutiert.
Grüße,
Wolfgang
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