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Hallo,
diesmal bin ich wieder am Wiederaufholen meiner Wissenslücken und dies mit ein paar Übungsaufgaben zum Thema Intervallschachtelung. Ich würde mich über jede Hilfe/Verbesserung freuen.
Folgende Bedingungen machen aus einer Intervallfolge eine Intervallschachtelung:
Jedes Intervall ist eine Teilmenge des vorherigen Intervalls
Die Folge der Intervalllängen ist eine Nullfolge.
1) Begründe, dass jedes wie oben beschriebene Intervall mindestens drei Zahlen enthält.
Wenn [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] rationale Zahlen sind könnte man das arithmetische Mittel Anwenden und könnte se so beweisen, doch was ist, wenn [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] irrational sind?- Das arithmetische Mittel trifft bei folgendem Beispiel nicht zu:
[mm] I_{1} [/mm] = [mm] \{\wurzel{2};\wurzel{3}\}
[/mm]
2) Gib eine Intervallfolge an, die 1), aber nicht zwei erfüllt:
[mm] I_{1} [/mm] = [mm] \{2;5\}
[/mm]
[mm] I_{2} [/mm] = [mm] \{2,5; 4,5\}
[/mm]
[mm] I_{3} [/mm] = [mm] \{\bruch{8}{3}; \bruch{13}{3}\}
[/mm]
3)Gib eine Intervallfolge an, die 1), aber nicht 2) erfüllt:
[mm] I_{1} [/mm] = [mm] \{2;3\}
[/mm]
[mm] I_{2} [/mm] = [mm] \{1,5;2\}
[/mm]
[mm] I_{3} [/mm] = [mm] \{\bruch{4}{3};\bruch{5}{3}\}
[/mm]
4) Beweise, dass eine Intervallschachtelung nicht mehr als eine innere Zahl haben kann
Hier Frage ich mich, wie dies funktionieren soll... Für mich ist es absolut trivial, da die Intervallschachtelung keine wäre, da keine Nullfolge vorliegen würde...
5)
[mm] I_{1} [/mm] = [mm] \{0;1\}
[/mm]
[mm] I_{2} [/mm] = [mm] \{0,2;0,3\}
[/mm]
[mm] I_{3} [/mm] = [mm] \{0,24;0,25\}
[/mm]
[mm] I_{4} [/mm] = [mm] \{0,249;0,250\}
[/mm]
[mm] I_{5} [/mm] = [mm] \{0,2499;0,2500\}
[/mm]
Die Intervallschachtelung ist eine (dezimale) Intervallschachtelung mit der inneren Zahl [mm] 0,25=\bruch{1}{4} \in \IQ
[/mm]
Gib eine andere Intervallschachtelung mit der inneren Zahl
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] an.
[mm] I_{1} [/mm] = [mm] \{0;1\}
[/mm]
[mm] I_{2} [/mm] = [mm] \{0,01;0,99\}
[/mm]
[mm] I_{3} [/mm] = [mm] \{0,0101;0,9899\}
[/mm]
...Moment einmal... Könnte es bei meinem Beispiel nicht eine andere innere Zahl geben?
Ich danke für jede Hilfe, die ich kriege. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mi 01.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Anmeldeversuch04,
ich hoffe, dass du nicht so viele Anmeldeversuche nötig hattest 
Zu 1.)
Jede Intervallschachtelung enthält genau eine Zahl!
Zu 2.): (1) erfüllt, (2) nicht:
Ganz einfach: Eine konstante Intervallfolge, z.B.:
[mm] $[a_n,b_n]=[0,1]\mbox{ }\forall n\in\IN$
[/mm]
Hier ist jedes Intervall Teilmenge des vorherigen, aber die Folge der Intervallängen $1-0=1$ ist eine konstante Folge [mm] \neq0.
[/mm]
Zu 3.): (1) nicht erfüllt, aber (2) erfüllt:
Ganz einfach: Es heißt doch "Jedes Intervall ist eine Teilmenge des vorherigen Intervalls". Verneinung wäre: "Es existiert mindestens ein Intervall, das nicht Teilmenge des vorherigen ist."
Also erfüllt schon die Intervallfolge:
[mm] I_1=[2,3]
[/mm]
[mm] I_2=[0,1]
[/mm]
[mm] I_n=[0,\frac{1}{n-2}] [/mm] für alle [mm] n\ge3.
[/mm]
Hier ist [mm] I_2 [/mm] keine Teilmenge von [mm] I_1. [/mm] Es gilt zwar, dass jedes Intervall eine Teilmenge des vorherigen Intervalls für alle [mm] I_j [/mm] mit [mm] j\ge3 [/mm] ist, aber wir haben ein Beispiel für die Aussage "Es existiert mindestens ein Intervall, das nicht Teilmenge des vorherigen ist." gefunden.
Dein Beispiel geht aber auch in die richtige Richtung, wobei man Intervalle nicht mit [mm] \{...\} [/mm] schreibt!
Zu 4.)
Indirekter Beweis. Wir nehmen das Gegenteil an und führen es zu einem Widerspruch.
Nehmen wir also an es existierten zwei reelle Zahlen x und y in einer Intervallschachtelung [mm] [a_n,b_n]. [/mm] Wir geben uns [mm] \epsilon>0 [/mm] vor und finden nach Eigenschaft (2) ein [mm] n\in\IN, [/mm] s.d. [mm] b_n-a_n<\epsilon.
[/mm]
Wegen [mm] x,y\in[a_n,b_n] [/mm] folgt [mm] |x-y|<\epsilon. [/mm] Aber [mm] \epsilon>0 [/mm] war beliebig. Also ist |x-y| kleiner als jede positive Zahl und kann nur gleich Null sein.
Daraus folgt x=y. FERTIG
Zu 5.)
Wenn du eine dezimale Intervallschachtelung konstruieren möchtest, gehst du ja immer eine Stelle hinter dem Komma "weiter".
Wie wäre es mit einer Intervallhalbierung (-drittelung o.ä.)? Das könntest du z.B. auch nutzen, um eine Intervallschachtelung für [mm] \frac{1}{4} [/mm] zu konstruieren. Du halbierst dein Intervall in dem 1/4 liegt und guckst ob 1/4 nun im rechten oder linken Intervall liegt. Anschließend halbierst du jenes Intervall, in dem 1/4 liegt usw.
MfG
Ladon
EDIT: Falscher Terminus.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:48 Mi 01.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ladon,
> Hallo Anmeldeversuch04,
>
> ich hoffe, dass du nicht so viele Anmeldeversuche nötig
> hattest
>
> Zu 1.)
> Jede Intervallschachtelung
> enthält genau eine Zahl!
zum einen finde ich das etwas missverständlich formuliert (der Name
Intervallschachtelung meint ja das ![[]](/images/popup.gif) Prinzip der Intervallschachtelung,
das Ergebnis der Anwendung oder sowas ist eigentlich das, wovon Du
sprichst), aber vor allem geht es doch um die dort vorkommenden
Intervalle [mm] $[a_n,b_n],$ [/mm] also quasi die FOLGENGLIEDER der Intervallschachtelung
(wie Du auf Wiki nachlesen kannst, bezeichnet man auch diese Folge der
Intervalle als Intervallschachtelung).
D.h. mit den Bezeichnungen von Wiki wäre zu zeigen:
Für alle [mm] $J_n$ [/mm] gilt [mm] $|J_n|$ $\ge$ $3\,.$
[/mm]
Allerdings sollte man dafür ausschließen, dass die Folge der Intervalle
irgendwann einpunktig wird.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 08:06 Do 02.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Marcel,
da habe ich mich wohl in der Terminologie vergriffen. Ich hätte wohl genauer lesen sollen. Der Autor des Artikels erwähnt ja Intervalle, nicht das Intervallschachtelungsprinzip.
Danke für den Hinweis!
MfG
Ladon
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Die benötigte Anzahl meiner Versuche steht im Namen. ;)
Danke ersteinmal für die ausführliche Antwort. :)
Ich"glaube", dass ich 2-4 vollkommen verstehen und anwenden kann jedoch 1) "überfordert" mich...
Ich soll beweisen, dass es mindestens 3 sind...
Dies müsste bei irrationalen Zahlen eigentlich zutreffen, oder? Außerdem kann mein ein Intervall als Strecke auf der Zahlengerade darstellen. Dadurch muss ein Intervall doch aus mindestens 2 Punkten bestehen?- und nicht einem?
Bei [mm] \wurzel{2} [/mm] müssten es z.B. [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] und [mm] \wurzel{2} [/mm] sein, wobei die Intervallschachtelung immer noch eine unendliche Folge von Intervallen ist.
Bei rationalen Zahlen komme ich auf zwei Zahlen. Z.B. [mm] \bruch{1}{4} [/mm] (Das erste Beispiel) und bei Kriterien einer Intervallschachtelung sind auch erfüllt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mi 01.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die benötigte Anzahl meiner Versuche steht im Namen. ;)
>
> Danke ersteinmal für die ausführliche Antwort. :)
> Ich"glaube", dass ich 2-4 vollkommen verstehen und
> anwenden kann jedoch 1) "überfordert" mich...
warum? Du hast doch selbst schon alles gesagt. Ich glaube, bei Dir besteht
folgende Verwirrung:
Du verwechselst die Zahlenfolgen der Ränder mit der Intervallfolge. Die
Intervallfolge [mm] ${(J_n)}_{n=1}^\infty$ [/mm] sieht doch so aus:
[mm] ${(J_n)}_{n=1}^\infty={([a_n,\,b_n])}_{n=1}^\infty$
[/mm]
Sie wird mit den Zahlenfolgen [mm] ${(a_n)}_{n=1}^\infty$ [/mm] und [mm] ${(b_n)}_{n=1}^\infty$ [/mm] gebildet.
Weil [mm] $J_n$ [/mm] genau für [mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n$ [/mm] nicht leer und nicht einpunktig ist, folgt aus
[mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n$ [/mm] auch [mm] $\frac{a_n+b_n}{2} \in J_n\,.$
[/mm]
Die drei Zahlen
[mm] $a_n,b_n,\frac{a_n+b_n}{2}$
[/mm]
liegen also alle in [mm] $J_n$ [/mm] (und sind wegen [mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n$ [/mm] auch paarweise verschieden).
Habt ihr übrigens noch Bedingungen an die [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] und Du glaubst
vielleicht, dass [mm] $\frac{a_n+b_n}{2}$ [/mm] diese nicht erfülle?
Ich kann Dich beruhigen:
[mm] $(\IQ,+,*)$ [/mm] ist ein Körper, daher folgt aus [mm] $a_n,b_n \in \IQ$ [/mm] auch sodann [mm] $\frac{a_n+b_n}{2} \in \IQ\,.$
[/mm]
Und bekanntlich ist [mm] $\sqrt{2} \notin \IQ$ [/mm] (übrigens auch [mm] $\sqrt{3} \notin \IQ$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 02.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ladon,
> Hallo Anmeldeversuch04,
>
> Du hast auf jeden Fall Eigenhumor 
> Eine Alternative zu dem Beweis von Marcel über
> [mm]\frac{a_n+b_n}{2}[/mm] wäre evtl. folgendes:
eigentlich hat er ja das Wesentliche des Beweises selbst genannt, auch,
wenn ich es nicht anders gemacht hätte. (Wenn ich jemanden ärgern will,
dann nehme ich auch mal [mm] [s][nomm]$(a_n+b_n)/p$[/nomm] [/mm] für eine Zahl $p > [mm] 1\,.$[/s]
[/mm]
edit: [mm] $a_n+q*(b_n-a_n)$ [/mm] für ein rationales $0 < q < 1$)
> Sicher ist [mm]a_n,b_n\in J_n[/mm] (Bezeichnung: siehe Marcel). Es
> gilt: [mm]\IQ[/mm] liegt  dicht in sich selbst, d.h.:
> [mm]\forall a,b\in\IQ\mbox{ mit }a
> Wir haben [mm]$a_n,b_n\in\IQ\mbox{ mit }a_n
> Also existiert nach [mm]\mbox{(-1-)}[/mm] zu jedem [mm]n\in\IN[/mm] ein
> [mm]c_n\in\IQ,[/mm] s.d. [mm]$a_n
Damit würde man eigentlich noch viel mehr machen können, wenn man
wirklich die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] benutzen darf.
Aber wir wollen mal nicht übertreiben...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Do 02.10.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> > Sicher ist [mm]a_n,b_n\in J_n[/mm] (Bezeichnung: siehe Marcel). Es
> > gilt: [mm]\IQ[/mm] liegt dicht in sich selbst, d.h.:
> > [mm]\forall a,b\in\IQ\mbox{ mit }a
Übrigens habe ich die obige Definition des
Dichtheitsdbegriffes
so noch nicht gesehen, ich kenne die obige Definition aus Wikipedia mit den
Teilmengen eines metrischen Raums etwa.
Und dieser würde hier wenig bringen, denn da ist natürlich jeder metrische
Raum immer dicht in sich selbst, insbesondere [mm] $\overline{\IN}=\IN\,.$
[/mm]
Ich verweise bzgl. Deiner Aussage einfach mal auf
Satz 3.23,
der eigentlich wesentlich stärker ist (er zeigt ja die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$). [/mm]
Das zwischen $a,b [mm] \in \IQ$ [/mm] mit $a < [mm] b\,$ [/mm] immer eine weitere Zahl aus [mm] $\IQ$ [/mm] liegt, kann man
aber sehr elementar beweisen, eben durch
$a < [mm] \frac{a+b}{2} [/mm] < b$ und [mm] $\frac{a+b}{2} \in \IQ\,.$
[/mm]
Aber man könnte es auch anders machen:
Man nehme eine Zahl
$q [mm] \in$ ($]0,1[\;$ $\cap$ $\IQ$)
[/mm]
und betrachte
$z:=a+q*(b-a) [mm] \in \IQ\,.$
[/mm]
Es gilt offensichtlich
$a < [mm] z\,.$
[/mm]
und
[mm] $b-z=b-a-q(b-a)=(b-a)\cdot [/mm] (1-q) > 0$
zeigt, dass offensichtlich auch $z < [mm] b\,$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Do 02.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Marcel,
> eigentlich hat er ja das Wesentliche des Beweises selbst
> genannt, auch,
> wenn ich es nicht anders gemacht hätte. (Wenn ich
> jemanden ärgern will,
> dann nehme ich auch mal [mm](a_n+b_n)/p[/mm] für eine Zahl [mm]p > 1\,.[/mm])
Eine schöne Variante
>
> > Sicher ist [mm]a_n,b_n\in J_n[/mm] (Bezeichnung: siehe Marcel). Es
> > gilt: [mm]\IQ[/mm] liegt dicht in sich selbst, d.h.:
> > [mm]\forall a,b\in\IQ\mbox{ mit }a
> > Wir haben [mm]$a_n,b_n\in\IQ\mbox{ mit }a_n
> > Also existiert nach [mm]\mbox{(-1-)}[/mm] zu jedem [mm]n\in\IN[/mm] ein
> > [mm]c_n\in\IQ,[/mm] s.d. [mm]$a_n
>
> Damit würde man eigentlich noch viel mehr machen können,
> wenn man
> wirklich die Dichtheit von [mm]\IQ[/mm] benutzen darf.
> Aber wir wollen mal nicht übertreiben...
Wie wahr, wie wahr...
MfG
Ladon
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Do 02.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > eigentlich hat er ja das Wesentliche des Beweises selbst
> > genannt, auch,
> > wenn ich es nicht anders gemacht hätte. (Wenn ich
> > jemanden ärgern will,
> > dann nehme ich auch mal [mm](a_n+b_n)/p[/mm] für eine Zahl [mm]p > 1\,.[/mm])
>
> Eine schöne Variante
eigentlich nicht - das geht nämlich gar nicht. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Aber gut, dass Du es nochmal erwähnst. Ich hatte da nämlich vorhin
bemerkt, dass ich da Quatsch stehen hatte und den ersten Quatsch
vergessen zu korrigieren - mir war aufgefallen, dass das, was ich
*anschaulich* gedacht habe, nicht zu dem passte, was ich geschrieben
habe, als ich es kurz in Gedanken beweisen wollte.
Jetzt siehst Du aber nochmal, was ich eigentlich meinte (obwohl das, was
ich erst da stehen hatte, dazu so gar nicht passt).
Was ich hätte schreiben können, wäre
[mm] $\tfrac{1}{p}*a+(1-\tfrac{1}{p})*b$ [/mm] mit einem rationalen $p > [mm] 1\,.$
[/mm]
Das passt nämlich zu der jetzt korrigierten Variante. Aber da war ich zu
schlampig. ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mi 01.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> diesmal bin ich wieder am Wiederaufholen meiner
> Wissenslücken und dies mit ein paar Übungsaufgaben zum
> Thema Intervallschachtelung. Ich würde mich über jede
> Hilfe/Verbesserung freuen.
>
> Folgende Bedingungen machen aus einer Intervallfolge eine
> Intervallschachtelung:
> Jedes Intervall ist eine Teilmenge des vorherigen
> Intervalls
> Die Folge der Intervalllängen ist eine Nullfolge.
>
> 1) Begründe, dass jedes wie oben beschriebene Intervall
> mindestens drei Zahlen enthält.
das kann man nur dann beweisen, wenn die Intervallfolge nicht irgendwann
konstant (und damit "einpunktig") wird. Beachte [mm] $[a,a]=\{a\}\,.$
[/mm]
Falls bei Euch "Teilmenge=echte Teilmenge" meint, dann wäre diese Bedingung
erfüllt.
> Wenn [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] rationale Zahlen sind könnte man das
> arithmetische Mittel Anwenden und könnte se so beweisen,
> doch was ist, wenn [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] irrational sind?- Das
> arithmetische Mittel trifft bei folgendem Beispiel nicht
> zu:
> [mm]I_{1}[/mm] = [mm]\{\wurzel{2};\wurzel{3}\}[/mm]
bitte? Ich behaupte
[mm] $\sqrt{2} \le \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} \le \sqrt{3}\,.$
[/mm]
Warum? Weil für ALLE reellen [mm] $a,b\,$ [/mm] gilt: Ist o.E. $a [mm] \le b\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $2a=a+a\,$ $\le$ $a+b\,$ $\le$ $b+b=2b\,.$
[/mm]
(Du darfst über [mm] $\le$ [/mm] durch [mm] $<\,$ [/mm] ersetzen, wenn $a < [mm] b\,.$)
[/mm]
Also in der Tat gilt "sogar"
[mm] $\sqrt{2} [/mm] < [mm] \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} [/mm] < [mm] \sqrt{3}$
[/mm]
und alle diese Zahlen sind [mm] $\in [\sqrt{2},\;\sqrt{3}]\,.$
[/mm]
P.S. Die Sprechweise, dass eine Intervallfolge [mm] ${(J_n)}_{n=1}^\infty$ [/mm] konstant werde,
verwende ich in dem Sinne, dass dies genau dann der Fall sei, wenn es ein
[mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $J_{n+1}=J_n$ [/mm] für alle [mm] ($\IN \ni$) [/mm] $n [mm] \ge n_0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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