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| Aufgabe | Welche dieser Folgen [mm] $(a_n)_n\in\mathbb{N} [/mm] ist konvergent? Bestimme gegebenfalls ihren Grenzwert.
(a) [mm] $a_n=\begin{cases} 1, & \mbox{\textrm{für }} n \mbox{ \textrm{Primzahl}} \\ \frac{1}{n}, & \mbox{\textrm{sonst} }\end{cases}$
[/mm]
(b) [mm] $a_n=\begin{cases} \frac{(-1)^n}{n^2}, & \mbox{\textrm{für }} n \mbox{ \textrm{Zehnerpotenz}} \\ \frac{1}{n}, & \mbox{\textrm{sonst} }\end{cases}$ [/mm] |
Hallo,
wie beweise ich bei den oberen zwei Folgen Konvergenz? Ich bin durch die Fallunterscheidungen hier irritiert.
Grüße!
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Hallo, Herr des Mülls,
> Welche dieser Folgen [mm](a_n)_n\in\mathbb{N}[/mm] ist konvergent?
> Bestimme gegebenfalls ihren Grenzwert.
>
> (a) [mm]a_n=\begin{cases} 1, & \mbox{\textrm{für }} n \mbox{ \textrm{Primzahl}} \\ \frac{1}{n}, & \mbox{\textrm{sonst} }\end{cases}[/mm]
>
> (b) [mm]a_n=\begin{cases} \frac{(-1)^n}{n^2}, & \mbox{\textrm{für }} n \mbox{ \textrm{Zehnerpotenz}} \\ \frac{1}{n}, & \mbox{\textrm{sonst} }\end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> wie beweise ich bei den oberen zwei Folgen Konvergenz? Ich
> bin durch die Fallunterscheidungen hier irritiert.
Irritation ist angemessen.
1) Beschäftige Dich mit dem Begriff ![[]](/images/popup.gif) "fast alle" in der Definition der Konvergenz. Trifft er hier zu?
2) Wenn Du damit durch bist, dann schau Dir das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] an. Ist es auf eine der beiden Folgen anwendbar?
Zur Kontrolle: Die Folge in (a) ist nicht konvergent, die in (b) ist es.
Zusätzlich solltest Du Dir übrigens auch noch Häufungspunkte anschauen, und ein bisschen Wissen über das Infimum wird auch nicht schaden. 
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
danke für die Hinweise. Die Struktur von einem Konvergenz-Beweis ist mir klar. Ich weiß nur nicht, wie ich hier das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] auf diese Folgen anwenden soll.
z.B. bei Folge (a). Muss ich dort [mm] $|a_n-1|<\varepsilon$ [/mm] oder [mm] $|a_n-\frac{1}{n}|<\varepsilon$ [/mm] setzen oder [mm] $|a_n-1|<\varepsilon$ [/mm] und [mm] $|a_{n+1}-\frac{1}{n}|<\varepsilon$
[/mm]
Grüße
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Hallo,
> Hallo reverend,
>
> danke für die Hinweise. Die Struktur von einem
> Konvergenz-Beweis ist mir klar.
Das sieht aber ehrlich gesagt ganz anders aus...
> Ich weiß nur nicht, wie
> ich hier das [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium auf diese Folgen
> anwenden soll.
>
> z.B. bei Folge (a). Muss ich dort [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm] oder
> [mm]|a_n-\frac{1}{n}|<\varepsilon[/mm] setzen oder
> [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm] und [mm]|a_{n+1}-\frac{1}{n}|<\varepsilon[/mm]
Das Kriterium besagt, dass wenn eine Folge gegen einen Grenzwert g konvergiert, für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] die Ungleichung
[mm] |a_n-g|<\epsilon
[/mm]
für fast alle Folgenglieder gilt.
Also da steht g hinten, und das ist der (angenommene) Grenzwert, keinesfalls aber irgendein Folgenglied.
Die erste Folge besitzt zwei Häufungspunkte, wenn man die angibt, ist man fertig.
Bei der zweiten versuche es nochmals, allerdings mit dem Grenzwert.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mi 15.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu b): es gilt
[mm] $|a_n| \le [/mm] 1/n$ für alle n.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Mi 15.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Zu b): es gilt
>
> [mm]|a_n| \le 1/n[/mm] für alle n.
Noch besser: es gilt sogar [mm] a_n\le\bruch{1}{n} [/mm] für alle n.
Man könnte glatt mal über das Vergleichskriterium nachdenken. Vielleicht brauchen wir es ja demnächst in Wembley.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Mi 15.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Zu b): es gilt
> >
> > [mm]|a_n| \le 1/n[/mm] für alle n.
>
Hallo Reverend
> Noch besser: es gilt sogar [mm]a_n\le\bruch{1}{n}[/mm] für alle n.
Schon klar, aber das nützt nicht viel, wenn man zeigen will dass [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist.
Für die Folge [mm] (b_n) [/mm] , def. durch [mm] b_n:=-n [/mm] (n [mm] \in \IN), [/mm] gilt auch
[mm]b_n\le\bruch{1}{n}[/mm] für alle n.
>
> Man könnte glatt mal über das Vergleichskriterium
> nachdenken. Vielleicht brauchen wir es ja demnächst in
> Wembley.
Wozu ? [mm] \to [/mm] http://ruhrpottkanacke.fussball-fans.org/bse.gif
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
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Hallo Fred,
muss ich dadurch beweisen, dass die Folge konvergiert, indem ich sie in zwei Teilfolgen zerlege? Oder geht das auch ohne?
Grüße
> Hallo,
>
> > Hallo reverend,
> >
> > danke für die Hinweise. Die Struktur von einem
> > Konvergenz-Beweis ist mir klar.
>
>
> Das sieht aber ehrlich gesagt ganz anders aus...
>
> > Ich weiß nur nicht, wie
> > ich hier das [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium auf diese Folgen
> > anwenden soll.
> >
> > z.B. bei Folge (a). Muss ich dort [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm]
> oder
> > [mm]|a_n-\frac{1}{n}|<\varepsilon[/mm] setzen oder
> > [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm] und
> [mm]|a_{n+1}-\frac{1}{n}|<\varepsilon[/mm]
>
> Das Kriterium besagt, dass wenn eine Folge gegen einen
> Grenzwert g konvergiert, für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] die
> Ungleichung
>
> [mm]|a_n-g|<\epsilon[/mm]
>
> für fast alle Folgenglieder gilt.
>
> Also da steht g hinten, und das ist der (angenommene)
> Grenzwert, keinesfalls aber irgendein Folgenglied.
>
> Die erste Folge besitzt zwei Häufungspunkte, wenn man die
> angibt, ist man fertig.
>
> Bei der zweiten versuche es nochmals, allerdings mit dem
> Grenzwert.
>
>
> Gruß, Diophant
Danke für den... Hinweis?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 15.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> muss ich dadurch beweisen, dass die Folge konvergiert,
> indem ich sie in zwei Teilfolgen zerlege? Oder geht das
> auch ohne?
Aus
$ [mm] |a_n| \le [/mm] 1/n $ für alle n.
folgt: [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
FRED
>
> Grüße
>
> > Hallo,
> >
> > > Hallo reverend,
> > >
> > > danke für die Hinweise. Die Struktur von einem
> > > Konvergenz-Beweis ist mir klar.
> >
> >
> > Das sieht aber ehrlich gesagt ganz anders aus...
> >
> > > Ich weiß nur nicht, wie
> > > ich hier das [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium auf diese Folgen
> > > anwenden soll.
> > >
> > > z.B. bei Folge (a). Muss ich dort [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm]
> > oder
> > > [mm]|a_n-\frac{1}{n}|<\varepsilon[/mm] setzen oder
> > > [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm] und
> > [mm]|a_{n+1}-\frac{1}{n}|<\varepsilon[/mm]
> >
> > Das Kriterium besagt, dass wenn eine Folge gegen einen
> > Grenzwert g konvergiert, für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] die
> > Ungleichung
> >
> > [mm]|a_n-g|<\epsilon[/mm]
> >
> > für fast alle Folgenglieder gilt.
> >
> > Also da steht g hinten, und das ist der (angenommene)
> > Grenzwert, keinesfalls aber irgendein Folgenglied.
> >
> > Die erste Folge besitzt zwei Häufungspunkte, wenn man die
> > angibt, ist man fertig.
> >
> > Bei der zweiten versuche es nochmals, allerdings mit dem
> > Grenzwert.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Danke für den... Hinweis?
>
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Ok, vielen Dank. Das habe ich schon verstanden. Ich tue mir nur schwer, nachzuvollziehen, wie du zu dem Schluss kommst, dass [mm] $|a_n|\le\frac{1}{n}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 15.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok, vielen Dank. Das habe ich schon verstanden. Ich tue mir
> nur schwer, nachzuvollziehen, wie du zu dem Schluss kommst,
> dass [mm]|a_n|\le\frac{1}{n}[/mm]
Wir haben:
$ [mm] a_n=\begin{cases} \frac{(-1)^n}{n^2}, & \mbox{\textrm{für }} n \mbox{ \textrm{Zehnerpotenz}} \\ \frac{1}{n}, & \mbox{\textrm{sonst} }\end{cases} [/mm] $
Sein n [mm] \in \IN.
[/mm]
Fall 1: n ist keine Zehnerpotenz. Dann ist [mm] a_n=\frac{1}{n}, [/mm] also
[mm] |a_n|=\frac{1}{n} [/mm] (I).
Fall 2: n ist eine Zehnerpotenz. Dann ist [mm] a_n=\frac{(-1)^n}{n^2}, [/mm] also
[mm] |a_n|=\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n} [/mm] (II)
Aus (I) und (II) folgt:
[mm] |a_n| \le \frac{1}{n} [/mm] für jedes n.
FRED
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Hallo FRED,
vielen Dank. Wenn ich so eine zusammengesetzte Folge wie z.B. in (a) und (b) habe, gibt es dann eine Strategie, wie man diese im Allgemeinen analysiert? Ich habe zunächst gedacht, dass ich irgendwie zwei Teilfolgen für die genannten Bedingungen bilden muss und diese dann betrachten. Das scheint ja hier nicht der Fall zu sein. Also reicht es in Fällen von zusammengesetzten Funktionen aus, sich die beiden Teilfolgen nach der Klammer (also bei (a) z.B. $1$ und [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] anzusehen, zu überprüfen, ob beide unter der genannten Bedingung nach der Klammer gegen denselben Wert konvergieren und dann schließen, dass dies dann auch die zusammengesetzte Folge tut oder liege ich da falsch?
Also für den Fall (a) z.B. ich betrachte die konstante Folge $1$ und sehe, die hat den Grenzwert $1$ und dann betrachte ich die Folge [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] und sehe, die konvergiert gegen $0$. Daher konvergieren sie gegen unterschiedliche Grenzwerte. Daher ist die Folge (a) [mm] $a_n$ [/mm] divergent.
Den zweiten Fall (b) hast du ja schon aufgeschrieben: [mm] $\frac{1}{n^2}\le a_n\le\frac{1}{n}\Rightarrow 0\le a_n\le 0\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Do 16.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo FRED,
>
> vielen Dank. Wenn ich so eine zusammengesetzte Folge wie
> z.B. in (a) und (b) habe, gibt es dann eine Strategie, wie
> man diese im Allgemeinen analysiert? Ich habe zunächst
> gedacht, dass ich irgendwie zwei Teilfolgen für die
> genannten Bedingungen bilden muss und diese dann
> betrachten.
das kannst Du auch bei beiden Aufgaben so machen, wenn Du magst. Fred
hat Dir nur eine (einfache) Alternative angeboten, mit der sich (b) auch
(einfach(er)?) lösen läßt.
> Das scheint ja hier nicht der Fall zu sein.
> Also reicht es in Fällen von zusammengesetzten Funktionen
> aus, sich die beiden Teilfolgen nach der Klammer (also bei
> (a) z.B. [mm]1[/mm] und [mm]\frac{1}{n}[/mm] anzusehen, zu überprüfen, ob
> beide unter der genannten Bedingung nach der Klammer gegen
> denselben Wert konvergieren und dann schließen, dass dies
> dann auch die zusammengesetzte Folge tut oder liege ich da
> falsch?
>
> Also für den Fall (a) z.B. ich betrachte die konstante
> Folge [mm]1[/mm] und sehe, die hat den Grenzwert [mm]1[/mm] und dann
> betrachte ich die Folge [mm]\frac{1}{n}[/mm] und sehe, die
> konvergiert gegen [mm]0[/mm]. Daher konvergieren sie gegen
> unterschiedliche Grenzwerte. Daher ist die Folge (a) [mm]a_n[/mm]
> divergent.
Mach' es lieber richtig: Sei [mm] $n_k \in \IN \cap \IP$ [/mm] die $k$-te Primzahl. Dann ist [mm] $(n_k)_k$ [/mm]
eine streng wachsende Folge natürlicher Zahlen (man beachte dabei auch,
dass es [mm] $\infty$ [/mm] viele Primzahlen gibt) und daher [mm] ${(a_{n_k})}_k$ [/mm] eine Teilfolge
von [mm] $(a_n)_n\,.$ [/mm] Offenbar gilt [mm] $a_{n_k}=1 \to [/mm] 1$ bei $k [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Nun betrachte $n'_k:=2k+2$ und dann [mm] ${(a_{n'_k})}_k\,.$ [/mm] Damit hast Du dann zwei Teilfolgen
gefunden, die zwar beide konvergieren, aber nicht gegen ein und denselben Wert!
> Den zweiten Fall (b) hast du ja schon aufgeschrieben:
> [mm]\frac{1}{n^2}\le a_n\le\frac{1}{n}\Rightarrow 0\le a_n\le 0\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/mm]
(b) kannst Du natürlich auch mit Teilfolgen lösen:
beachte dies, was hier steht!
(Nebenbei: Dass ich da nur von endlich vielen Teilfolgen rede, ist eigentlich
eine unnötige Einschränkung. Nichtsdestotrotz reicht Dir die Aussage dort
für die Aufgabe (b)!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
>
> muss ich dadurch beweisen, dass die Folge konvergiert,
> indem ich sie in zwei Teilfolgen zerlege? Oder geht das
> auch ohne?
natürlich geht das - und natürlich geht das auch ohne. Warum sonst beweist
man das Zeug eigentlich? Wenn man die Beweise versteht, ist das eigentlich
sofort klar. Also: Nachlernen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche dieser Folgen [mm]$(a_n)_n\in\mathbb{N}[/mm] ist konvergent?
> Bestimme gegebenfalls ihren Grenzwert.
>
> (a) [mm]a_n=\begin{cases} 1, & \mbox{\textrm{für }} n \mbox{ \textrm{Primzahl}} \\ \frac{1}{n}, & \mbox{\textrm{sonst} }\end{cases}[/mm]
>
> (b) [mm]a_n=\begin{cases} \frac{(-1)^n}{n^2}, & \mbox{\textrm{für }} n \mbox{ \textrm{Zehnerpotenz}} \\ \frac{1}{n}, & \mbox{\textrm{sonst} }\end{cases}[/mm]
nutze aus, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn jede ihrer
Teilfolgen konvergiert, und zwar alle Teilfolgen gegen ein und den selben
Wert.
Bei a) wird Dir helfen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. (Die Folge
divergiert also, denn...?) Zu b) hat Fred ja schon was gesagt! (Neben allem,
was reverend ja auch schon sagte!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Bei a) wird Dir helfen, dass es unendlich viele Primzahlen
> gibt.
Beachte auch, dass es etwa unendlich viele gerade natürliche Zahlen gibt
(und mit Ausnahme der [mm] $2\,$ [/mm] ist keine davon prim)!
Gruß,
Marcel
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