Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:20 Sa 24.11.2007 | | Autor: | hhhhhh |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge [mm] a_{n} [/mm] auf Konvergenz.
[mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{5k^7}{3^k} [/mm] |
Ich hoffe ich werde jetzt nicht ausgelacht, aber ich habe ernsthafte Probleme, zu entscheiden, ob Zähler oder Nenner größer ist. Mein Ansatz war:
[mm]
\bruch{5k^7}{3^k} = 5\left( \bruch{k}{3^\bruch{k}{7}} \right)^7
= 5 \left( \left( \bruch{k^\bruch{7}{k}}{3} \right)^\bruch{k}{7} \right)^7
=> lim 7/k = 0
=> k^0 = 1
Damit konvergiert an gegen 0.
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Sa 24.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen Sie die Folge [mm]a_{n}[/mm] auf Konvergenz.
>
> [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\bruch{5k^7}{3^k}[/mm]
> Ich hoffe ich werde jetzt nicht ausgelacht, aber ich habe
> ernsthafte Probleme, zu entscheiden, ob Zähler oder Nenner
> größer ist.
Hast du dir Zähler und Nenner aufgemalt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Mein Ansatz war:
>
> [mm]
\bruch{5k^7}{3^k} = 5\left( \bruch{k}{3^\bruch{k}{7}} \right)^7
= 5 \left( \left( \bruch{k^\bruch{7}{k}}{3} \right)^\bruch{k}{7} \right)^7
=> lim 7/k = 0
=> k^0 = 1
Damit konvergiert an gegen 0.
[/mm]
Die Antwort ist richtig, aber ich bin überfragt, ob du das so machen darfst. Du zerlegt ja den Grenzprozess in zwei unabhängige Grenzprozesse, machst erst den Grenzübergang innen und dann außen. Im Allgemeinen geht das schief; zum Besipiel konvergiert die Folge [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm] nicht gegen 1 sondern gegen [mm]\mathrm{e}[/mm].
Dein erster Schritt ist in Ordnung:
[mm] \lim\limits_{k\rightarrow\infty} \bruch{5k^7}{3^k} = 5\left( \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{3^\bruch{k}{7}} \right)^7 [/mm]
Den Grenzwert würde ich mit der Regel von l'Hospital angehen.
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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