Parameterdarstellung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es darf vorausgesetzt werden, dass die Menge [mm] \theta:= [/mm] { [mm] x\in\IR^3;|x|=1 [/mm] } [mm] \cap [/mm] { [mm] x\in\IR^3;x_1+x_2=0 [/mm] } [mm] \cap([0,\infty)\times\IR\times\IR)\subset\IR^3 [/mm]
stückweise glatte Jordankurve ist. Geben Sie eine (ggf. stückweise) Parametrisierung von [mm] \theta [/mm] an und berechnen Sie für die skalare Funktion f: [mm] \IR^3\to\IR, x\mapstox_1^2+x_2^2+x_3^2 [/mm]
die Integrale
[mm] \integral_{\theta}^{}{f(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{\theta}^{}{( \nabla f)(x) dx}
[/mm]
wobei die Wahl der Orientierung für das Kurvenintegral zweiter Art ihnen überlassen ist. |
Ok, also ich wollte mich als erstes an die Parametrisierung machen, habe aber wieder keine Ahnung wie das funktioniert. Also was ich dort oben rauslesen konnte war das |x| = 1 ist => [mm] \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=1 [/mm] => [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 [/mm] des weiteren [mm] x_1+x_2=0 [/mm] => [mm] x_2=-x_1 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] ist auf jeden Fall positiv. Vielleicht könnte mir ja jemand erklären wie ich bei einer parametrisierung vorgehen kann, so dass ich sie dann eigenständig erstellen kann.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo DeSaarlaender!
> Es darf vorausgesetzt werden, dass die Menge [mm]\theta:=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]x\in\IR^3;|x|=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]x\in\IR^3;x_1+x_2=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]\cap([0,\infty)\times\IR\times\IR)\subset\IR^3[/mm]
> stückweise glatte Jordankurve ist. Geben Sie eine (ggf.
> stückweise) Parametrisierung von [mm]\theta[/mm] an und berechnen
> Sie für die skalare Funktion f: [mm]\IR^3\to\IR, x\mapstox_1^2+x_2^2+x_3^2[/mm]
> die Integrale
> [mm]\integral_{\theta}^{}{f(x) dx}f(x)ds[/mm] und
> [mm]\integral_{\theta}^{}{f(x) dx}(\nablaf)(x)[/mm] * dx
> wobei die Wahl der Orientierung für das Kurvenintegral
> zweiter Art ihnen überlassen ist.
> Ok, also ich wollte mich als erstes an die
> Parametrisierung machen, habe aber wieder keine Ahnung wie
> das funktioniert. Also was ich dort oben rauslesen konnte
> war das |x| = 1 ist => [mm]\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=1[/mm] =>
> [mm]x_1^2+x_2^2+x_3^2=1[/mm] des weiteren [mm]x_1+x_2=0[/mm] => [mm]x_2=-x_1[/mm] und
> [mm]x_1[/mm] ist auf jeden Fall positiv. Vielleicht könnte mir ja
> jemand erklären wie ich bei einer parametrisierung
> vorgehen kann, so dass ich sie dann eigenständig erstellen
> kann.
Mach dir zunächst einmal klar, was [mm]\{x\in\mathbb R^3: |x|=1\}[/mm], [mm]\{x\in\mathbb R^3: x_1+x_2=0\}[/mm] und [mm][0,\infty)\times\mathbb R\times\mathbb R[/mm] für Mengen sind. (Tipp: Es sind eine Kugel, eine Ebene und ein "Halbraum", warum?) Mache Skizzen! Was ist der Schnitt dieser drei Mengen?
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Also, das ersteres eine Kugel ist leuchtet mir direkt ein, aber irgendwie sehe ich das zweite nicht als ebene ... weil [mm] x_3 [/mm] kann man hier ja beliebig wählen und auch [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind zwar eingeschränkt aber immer noch variabel müsste das dann nicht irgendein Körper sein? Flach ist das was da rauskommt auf jeden Fall nicht. Das letzteres ein Halbraum ist leuchtet auch ein. Der Schnitt des ersten und des letzten wäre eine Kugel ohne alle negativen [mm] x_1 [/mm] werte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Also, das ersteres eine Kugel ist leuchtet mir direkt ein,
Gut.
> aber irgendwie sehe ich das zweite nicht als ebene ... weil
> [mm]x_3[/mm] kann man hier ja beliebig wählen und auch [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> sind zwar eingeschränkt aber immer noch variabel müsste
> das dann nicht irgendein Körper sein? Flach ist das was da
> rauskommt auf jeden Fall nicht. Das letzteres ein Halbraum
Zeichne dir mal in ein [mm]x_1-x_2[/mm]-Koordinatensystem, wo die Punkte liegen, die [mm]x_1+x_2=0[/mm] gilt. Was wird daraus, wenn du noch die [mm]x_3[/mm]-Dimension dazunimmst?
> ist leuchtet auch ein. Der Schnitt des ersten und des
> letzten wäre eine Kugel ohne alle negativen [mm]x_1[/mm] werte.
Genau, und diese Halbkugel wird noch mit einer Ebene geschnitten (genaue Lage der Ebene: siehe oben), es entsteht also ein Halbkreis und den kann man ja relativ leicht parametrisieren.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Ok dann wäre meine Parametrisierung also:
[mm] \vektor{1/ \sqrt2 cos(t) \\ -1/ \sqrt2 cos(t) \\ sin(t)} [/mm] mit t [mm] \in [/mm] [- [mm] \pi [/mm] /2; [mm] \pi [/mm] /2]
und wie gehe ich jetzt beim Berechnen der Integrale vor? Bisher hab ich immer nur integriert von 0 bis 1 o.ä. halt von einer Zahl zu einer anderen
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok dann wäre meine Parametrisierung also:
> [mm]\vektor{1/ \sqrt2 cos(t) \\ -1/ \sqrt2 cos(t) \\ sin(t)}[/mm]
> mit t [mm]\in[/mm] [- [mm]\pi[/mm] /2; [mm]\pi[/mm] /2]
> und wie gehe ich jetzt beim Berechnen der Integrale vor?
> Bisher hab ich immer nur integriert von 0 bis 1 o.ä. halt
> von einer Zahl zu einer anderen
Schaue hier: ![[]](/images/popup.gif) .
Dein erstes Integral [mm] $\int_{\theta} [/mm] f(x) dx$ ist ein Kurvenintegral 1. Art, weil $f$ eine skalare Funktion ist (geht nach [mm] $\IR$). [/mm] Also ist zu berechnen:
[mm] $\int_{\theta} [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(\theta(t))\cdot ||\dot\theta(t)||_2 [/mm] d t$.
Das zweite Integral ist ein Kurvenintegral 2. Art (weil der Gradient ein Vektor ist). Dort ist also zu berechnen:
[mm] $\int_{\theta} \nabla [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\langle \nabla f(\theta(t)), \dot\theta(t) \rangle [/mm] d t$.
(der Punkt über [mm] $\theta$ [/mm] symbolisiert Ableiten nach t)
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Habe ich letzteres Integral richtig gelesen, dass [mm] \nabla [/mm] f nur auf [mm] \theta(t) [/mm] angewand wird, oder muss ich das auch auf die Ableitung anwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Habe ich letzteres Integral richtig gelesen, dass [mm]\nabla[/mm] f
> nur auf [mm]\theta(t)[/mm] angewand wird, oder muss ich das auch auf
> die Ableitung anwenden?
[mm] \langle \nabla f(\theta(t)), \dot\theta(t) \rangle
[/mm]
ist das Skalarprodukt von [mm] \nabla f(\theta(t)) [/mm] und [mm] \dot\theta(t)
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hmmm jetzt hab ich ein Problem denn [mm] \nabla [/mm] f wäre ja nach den Rechenregeln für cosinus und sinus der Nullvektor weil die Ableitung von 1 ja immer Null ist egal ob ich nach x y oder z ableite. D.h. ich hätte das Skalarprodukt von einem Nullvektor mit einem zweiten Vektor, was ja wieder Null wäre. Also hätte ich ein Integral in dem Null steht ... dann habe ich ja gar kein Ergebnis.
Da muss doch irgendein Fehler sein, oder?
PS: [mm] \theta [/mm] = [mm] \vektor{1/ \sqrt2 cos(t) \\ -1/ \sqrt2 cos(t) \\ sin(t)}
[/mm]
und f : [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 25.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein f ist doch [mm] x1^2+x2^2+x3^2 [/mm] wie kommst du da auf 0? welche Rechenregeln für cos und sin haben damit was zu tun?
schreib mal [mm] \Theta' [/mm] und [mm] \nabla [/mm] f auf
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Fulla |
P.S.: Hier wird dieselbe Frage diskutiert.
|
|
|
|
