Pyramide < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | eckpunkte O(0/0/0), A (6/0/0) , B (6/6/0), C(0/6/0) und D (3/3/5)
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Guten Tag erstmal.. 
Ich habe ein Problem,denn ich weiss nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll...
Zeigen Sie, dass es sich bei dem Körper um eine regelmäßige Pyramide mit quadratischer Grundfläche handelt und berechen Sie das Volumen...
Wäre für einen sinnvollen Ansatz dankbar!!!
MFG
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> eckpunkte O(0/0/0), A (6/0/0) , B (6/6/0), C(0/6/0) und D
> (3/3/5)
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> Guten Tag erstmal..
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Hey
> Ich habe ein Problem,denn ich weiss nicht, wie ich die
> Aufgabe angehen soll...
>
> Zeigen Sie, dass es sich bei dem Körper um eine regelmäßige
> Pyramide mit quadratischer Grundfläche handelt und berechen
> Sie das Volumen...
>
Also die Grundfläche ist ein Quadrat. Wie sieht ein Quadrat aus? Richtig, es hat vier gleich lange Seiten. Dann zeige doch, dass dies hier erfüllt ist, also:
[mm] |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CO}|
[/mm]
Nun kann es aber auch noch eine Raute sein, also musst doch mind. einen 90° Winkel nachweisen.
Für das Volumen gilt: [mm] $V_{Pyramide}=\bruch{1}{3}*G*h$
[/mm]
Die Grundfläche auszurechnen sollte kein Problem sein. Um die Höhe zu bestimmen, musst du den Abstand ausrechnen von D zu der Ebene durch die Punkte OABC.
> Wäre für einen sinnvollen Ansatz dankbar!!!
>
> MFG
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>
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Viele Grüße Patrick
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Aber wie weise ich denn mit den Punkten nun nach,dass alle SEiten gleich lang sind??
was für ein gleichungssystem muss man denn aufstellen
MFG
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Ich habe bei mir in der ersten Antwort erstmal die Betragsstriche noch ergänzt, denn es handelt sich ja um Längen.
Also hier ein Beispiel wie man [mm] |\overrightarrow{AB}| [/mm] ausrechnet:
[mm] |\overrightarrow{AB}|=|\vec{b}-\vec{a}|=|\vektor{6 \\ 6 \\0}-\vektor{6 \\ 0 \\0}|=|\vektor{0 \\ 6 \\0}|=\wurzel{0^2+6^2+0^2}=6
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Di 04.03.2008 | | Autor: | Teenie88w |
Ah, es hat Klick gemacht... Vielen Dank
MFG
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könnte mir jemand ncohmal bei der volumenrechnung helfen..die formel und so weiss ich..mir fehlt nur die höhe
Vielen lieben Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Di 04.03.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
für das Volumen eines Spates gilt [mm] V=Det(\vec{a};\vec{b};\vec{c}) [/mm] - das ganze nennt sich Spatprodukt. Jetzt ist das Volumen einer Pyramide doch nur noch ein Teil davon... Und zwar ein wie großer?
Grüße
Oli
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Tut mir leid,aber mit diesem spatprodukt haben wir noch nie gerechnet...
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Hallo Teenie88w,
> Tut mir leid,aber mit diesem spatprodukt haben wir noch nie
> gerechnet...
Aber bestimmt mit dem Skalarprodukt?
Die Punkte O,A,B,C liegen alle in der Ebene [mm]E:z=0[/mm].
Anders geschrieben: [mm]\pmat{ x \\ y \\ z}*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }=\overrightarrow{x}*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }=0[/mm]
Um die Höhe auszurechnen, bilden wir die Gerade [mm]g:\overrrightarrow{x}=\overrightarrow{OD}+\lambda*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
Diese Gerade g schneiden wir nun mit der Ebene E:
[mm]\left(\overrightarrow{OD}+\lambda*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }\right)\*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }=0[/mm]
Daraus erhältst Du den Parameter [mm]\lambda[/mm].
Und die Höhe ergibt sich dann zu [mm]h=\vmat{\lambda*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 } }=\vmat{\lambda}[/mm]
Damit kann jetzt das Volumen dieser Pyramide ausgerechnet werden.
Gruß
MathePower
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Ok,den weg verstehe ich aber wie kommst du immer aus dieses (0/0/1) bei deiner ausführung???
sind das die orthogonalen???
Liebe Grüße
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Hallo Teenie88w,
> Ok,den weg verstehe ich aber wie kommst du immer aus dieses
> (0/0/1) bei deiner ausführung???
Alle Punkte O, A, B, C besitzen die z-Komponente 0. Demzufolge liegen sie alle in der Ebene [mm]E:z=0[/mm].
Ich schreibe die Ebenengleichung etwas ausführlicher: [mm]E:\blue{0}*x+\blue{0}*y+\blue{1}*z=0[/mm]
[mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] ist somit der Normalenvektor der Ebene [mm]E:z=0[/mm].
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> sind das die orthogonalen???
Der Normalenvektor einer Ebene E stehe senkrecht auf deren Richtungsvektoren.
>
>
> Liebe Grüße
Gruß
MathePower
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ok... verstehe..Kannst du mir auhc noch erklären, was ich mit dem betrag aus [mm] \lambda [/mm] anschließend mache??? *dumm frag*
wegen der volumenformel
Liebe Grüße
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Hallo Teenie88w,
> ok... verstehe..Kannst du mir auhc noch erklären, was ich
> mit dem betrag aus [mm]\lambda[/mm] anschließend mache??? *dumm
> frag*
[mm]\vmat{\lambda}[/mm] ist die Höhe, die in die Volumenformel eingesetzt werden muss.
[mm]V_{Pyramide}=\bruch{1}{3}*G*h=\bruch{1}{3}*G*\vmat{\lambda}[/mm]
>
> wegen der volumenformel
>
>
> Liebe Grüße
Gruß
MathePower
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HMM so ganz verstehe ich das nciht mit dem lamda...... weil ich kein wert habe...*denkfehler hab*
Aber naja
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Hallo Teenie88w,
> HMM so ganz verstehe ich das nciht mit dem lamda...... weil
> ich kein wert habe...*denkfehler hab*
Das [mm]\lamdba[/mm] muss ja erst aus der Gleichung
[mm]\left(\overrightarrow{OD}+\lambda*\pmat{0 \\ 0 \\ 1}\right)\*\pmat{0 \\ 0 \\ 1}=0[/mm]
berechnet werden.
>
> Aber naja
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Di 04.03.2008 | | Autor: | Teenie88w |
jo ist ok
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