Stammfunktionsbildung bei "e" < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Di 01.03.2005 | | Autor: | Maurice |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Folgendes Problem:
Bei der Bildung von Stammfunktionen für "normale" Funktionen gibt es ja ne klare Regel:
[mm] f(x)=x^z [/mm] dann ist F(x)=(1/(z+1))*x^(z+1)
Bei e-Funtionen fehlt mir irgendwie die allgemeine Lösung.
[mm] f(x)=e^x [/mm] dann ist [mm] F(x)=e^x
[/mm]
f(x)=e^-x dann ist F(x)=-e^-x
f(x)=e^4x dann ist F(x)=e^4x/4
Man könnte als Sytem erkennen, dass man die e-funtion "stehen lässt" und durch die innere ableitung teilt.
Stimmt das? Vielen Dank für die Hilfe schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 01.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maurice!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Folgendes Problem:
>
> Bei der Bildung von Stammfunktionen für "normale"
> Funktionen gibt es ja ne klare Regel:
> [mm]f(x)=x^z[/mm] dann ist F(x)=(1/(z+1))*x^(z+1)
>
> Bei e-Funtionen fehlt mir irgendwie die allgemeine
> Lösung.
>
> [mm]f(x)=e^x[/mm] dann ist [mm]F(x)=e^x
[/mm]
> f(x)=e^-x dann ist F(x)=-e^-x
Ich schreibe es mal mit dem Formeleditor:
[m]f(x)=e^{-x}[/m], [mm] $F(x)=-e^{-x}$.
[/mm]
> f(x)=e^4x dann ist F(x)=e^4x/4
[mm] $f(x)=e^{4x}$, $F(x)=\frac{1}{4}e^{4x}$. [/mm]
> Man könnte als Sytem erkennen, dass man die e-funtion
> "stehen lässt" und durch die innere ableitung teilt.
>
> Stimmt das? Vielen Dank für die Hilfe schonmal!
Jein, das hängt von der "inneren Funktion" ab. In den obigen Fällen ist es aber sogar richtig, denn z.B. gilt:
[m]e^{4x}=(e^4)^x[/m] und dann wendest du die Regel, die du hier findest, sozusagen rückwärts an (beachte: [mm] $\ln(e^4)=4$)...
[/mm]
(Oder du überlegst dir: [mm] $e^{4x}$ [/mm] mit der Kettenregel abgeleitet ergibt:
[mm] $4*e^{4x}$. [/mm] Also, wenn man dann [mm] $\frac{1}{4}*e^{4x}$ [/mm] ableitet, erhält man [mm] $\frac{1}{4}*4*e^{4x}=e^{4x}$. [/mm] Also: Kettenregel sozusagen rückwärts und mit Bedacht anwenden! Warum mit Bedacht? Dazu siehe mein PS unten!)
Allgemein geht man aber bei solchen Aufgaben eher mit  Integration durch Substitution vor:
Z.B.:
Wir suchen eine Stammfunktion zu [mm] $f(x)=e^{4x}$.
[/mm]
Dazu substituieren wir: $g(x):=4x$.
Dann gilt:
[mm] $dg=4\,dx$.
[/mm]
Daraus erhalten wir (ohne Beachtung der Integrationskonstanten, da wir ja eh nur eine Stammfunktion angeben wollen und man außerdem die gefundene Stammfunktion als Repräsentant für alle Stammfunktionen sehen kann  ):
[m]\int{e^{4x}\,dx}=\int{e^{g}\,\underbrace{\frac{1}{4}\,dg}_{=\,dx}}=\frac{1}{4}\,\int{e^g\,dg}=\frac{1}{4}e^{g}=\frac{1}{4}e^{4x}[/m].
PS: Mal ein Beispiel, an dem du siehst, dass man nicht einfach durch die innere Ableitung teilen kann:
[m]\int{e^{(x^2)}\,dx}[/m] (ich kenne übrigens auch keine elementare Stammfunktion dazu, evtl. gibts gar keine...).
Du würdest nach deiner vermuteten Regel dann sagen, eine Stammfunktion dazu ist:
[m]\frac{e^{(x^2)}}{2x}[/m].
Aber wenn man das ableitet (unter Benutzung von u.a. der Kettenregel und der Quotientenregel), ehält man:
[m]\frac{2x*e^{(x^2)}*(2x)-e^{(x^2)}*2}{(2x)^2}=\frac{e^{(x^2)}*(4x^2-2)}{4x^2}\stackrel{i.A.}{\not=}e^{(x^2)}[/m],
da man für $x=1$ etwa nachrechnet:
[mm] $e^{(1^2)}=e^1=e$, [/mm] aber:
[mm] $\frac{e^{(1^2)}*(4*1^2-2)}{4*1^2}=\frac{2}{4}e=\frac{1}{2}e\not=e$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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