Stichprobe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Di 01.03.2005 | | Autor: | mathe007 |
Ich habe diese Frage bereits im Schul-Forum gestellt, aber keine mir begreifliche Antwort erhalten:
Eine Zeitung verfuegt ueber 100.000 Leser, von denen 10% (10.000) am Feuilleton interessiert sind (das ist Fakt).
Nun werden 50 Leser befragt (1/2 Promille), ob sie am Feulleton interessiert sind.
Meine Frage: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe von 50 Lesern der repraesentaive Anteil von 10 % am Feuilleton Interessierter
(also 5 Leser) enthalten ist?
Fuer eine leicht nachvollziehbare Antwort (Mathe war vor 25 Jahren bei mir Thema) waere ich sehr dankbar.
Viele Gruesse
mathe 007
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathe007!
> Ich habe diese Frage bereits im Schul-Forum gestellt,
Gut, dass du darauf hinweist. Hier der Link zu dem entsprechenden Thread:
https://matheraum.de/read?i=46487
> aber
> keine mir begreifliche Antwort erhalten:
Was ich dann aber nicht verstehe: Warum fragst du nicht in dem anderen Thread nach? Naja, jedenfalls kann sich jemand anderes den obigen Link ja mal angucken, evtl. erspart das einiges an Arbeit...
Viele Grüße,
Marcel
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Hallo mathe007!
Zwerglein hatte auf Deine Frage die richtige Antwort gegeben. Ich kann nur versuchen, sie noch etwas ausführlicher darzustellen.
> Eine Zeitung verfuegt ueber 100.000 Leser, von denen 10%
> (10.000) am Feuilleton interessiert sind (das ist Fakt).
> Nun werden 50 Leser befragt (1/2 Promille), ob sie am
> Feulleton interessiert sind.
> Meine Frage: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in
> der Stichprobe von 50 Lesern der repraesentaive Anteil von
> 10 % am Feuilleton Interessierter
> (also 5 Leser) enthalten ist?
X soll die Anzahl unter den 50 Lesern sein, der am Feuilleton interessiert ist. X ist eine Zufallsvariable, d.h. nimmt zufällig bestimmte Werte an (hier: alles zwischen 0 und 50). Dir geht es nun offensichtlich um das Ereignis [mm] $\{X\ge 5\}$, [/mm] d.h. dass mindestens 5 Leser am Feuilleton interessiert sind.
Wie bereits festgestellt wurde, kann man annehmen, dass X binomialverteilt (siehe auch hier) ist. So nennt man das, wenn folgende Formel gilt:
[mm] $P(X=k)={n\choose k}\cdot p^k (1-p)^{n-k},\quad k=0,\ldots,n,$
[/mm]
wobei n eine natürliche Zahl und p eine Wahrscheinlichkeit (d.h. eine reelle Zahl zwischen 0 und 1) darstellen. In unserem Beispiel ist n=50 und p=0.1 (der Anteil der Leser, die am Feuilleton interessiert sind). Damit ergibt sich über das Gegenereignis von [mm] $\{X\ge 5\}$
[/mm]
[mm] $P(X\ge 5)=1-P(X\le [/mm] 4)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4))$
[mm] $=1-\left({50\choose 0}\cdot 0.1^0\cdot 0.9^{50} + {50\choose 1}\cdot 0.1^1\cdot 0.9^{49} + {50\choose 2}\cdot 0.1^2\cdot 0.9^{48} + {50\choose 3}\cdot 0.1^3\cdot 0.9^{47} + {50\choose 4}\cdot 0.1^4\cdot 0.9^{46}\right)$
[/mm]
[mm] $\approx [/mm] 0.5688$
Da diese Rechnungen oft recht umständlich in den Taschenrechner einzutippen sind, gibt es die von Zwerglein erwähnten Tafelwerke, in denen für spezielle Kombinationen für n und p die entsprechenden aufsummierten Wahrscheinlichkeiten enthalten sind. (Aber im Zeitalter von Computern benutzt man üblicherweise diese.)
Viele Grüße
Brigitte
P.S.: Wegen der Formel-Problematik kann ich derzeit meinen Text nicht fehlerlesen. Ich hoffe, die Formeln enthalten keinen Tippfehler.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mi 02.03.2005 | | Autor: | mathe007 |
Liebe Brigitte,
recht herzlichen Dank fuer die ausfuehrliche Antwort.
Beste Gruesse
juergen (mathe007)
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