Telegraphengleichung < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Mo 05.11.2012 | | Autor: | n0000b |
Hallo,
ich habe mal wieder eine Frage und im Prinzip kann man es als Nachfolgethread von http://www.matheforum.net/read?t=916078 sehen. Die dortige Herleitung ist doch etwas schwammig.
Im Folgenden beziehe ich mich auf das Paper ![[]](/images/popup.gif) http://www.stanford.edu/~eperalta/undergrad/TransLines.pdfEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
. Mein Ziel ist es die Cutoff-Frequenz in Abschnitt 1.4.1 sauber herzuleiten. Ich gehe davon aus, dass die Telegraphengleichung gegeben ist, dass heißt die Herleitung beginnt für mich in Abschnitt 1.2. Ich würde mich gerne mit Euch Schritt für Schritt durchhangeln.
Mein 1. Problem beginnt schon bei Formel 7a/7b, ich gehe davon aus, dass man dort von einer Sinusschwingung ausgeht mit $I_{n(+1)}e^{-jwt}$ und $V_{n}e^{-jwt}$?!
Wie entsteht nun die Formel 9. Mir ist klar, dass quasi das $\frac{\partial^2(V,I)}{\partial^2z}}$ aus Formel 8 durch den Ausdruck $(V,I)_{n+1}-2(V,I)_n+(V,I)_{n-1}$ ersetzt wird. Letzterer leitet sich mir aber nicht her.
Könntet Ihr da bitte helfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 06.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
> ....
> Mein 1. Problem beginnt schon bei Formel 7a/7b, ich gehe
> davon aus, dass man dort von einer Sinusschwingung ausgeht
> mit [mm]I_{n(+1)}e^{-jwt}[/mm] und [mm]V_{n}e^{-jwt}[/mm]?!
Das steht auf Seite 3 oben.
> Wie entsteht nun die Formel 9. Mir ist klar, dass quasi
> das [mm]\frac{\partial^2(V,I)}{\partial^2z}}[/mm] aus Formel 8 durch
> den Ausdruck [mm](V,I)_{n+1}-2(V,I)_n+(V,I)_{n-1}[/mm] ersetzt wird.
Da steht etwas von einer analogen Herleitung, aus den Formeln 7a und 7b.
Mir fehlt noch die Begründung, warum man in 7a und 7b auch die partielle Zeitableitung nehmen kann, wahrscheinlich macht es keinen Unterschied.
Nimm jeweils die linke Version von 7a und 7b.
Klammere jeden Term der linken Version von 7b ein, schreibe [mm] $L_0 \bruch{\partial}{\partial t}$ [/mm] davor.
Dann kannst Du mit Hilfe von 7a die beiden Terme [mm] $L_0 \bruch{\partial I_{n+1,n}}{\partial t}$ [/mm] durch Terme in V ersetzen und Du bist fertig.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:33 Mi 07.11.2012 | | Autor: | n0000b |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
vielen Dank für Deine Hilfe, damit konnte ich
$(V,I)_{n+1}-2(V,I)_n+(V,I)_{n-1}=LC\frac{\partial^2(V,I)_n}{\partial^2t}}$
nachvollziehen.
Nach Gleichung 9 kommt die Erklärung mit Taylor und der Annahme von minimalen Veränderungen pro Segment zu dem Ergebnis $\frac{\partial^2(V,I)_n}{\partial^2n}}$
Zu meinem Verständnis mal durchgespielt für die Spannung mit $V_n=e^{-j(\omega t+\varphi n)}$. $\varphi$ ist ja hier der Hebel, von dem ausgegangen wird, dass die Änderung minimalst ist.
$e^{-j\varphi n}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(j\varphi n)^n}{n!}$ mit $(j\varphi n)\ll1$ $\Rightarrow e^{-j\varphi n}\approx 1-(j\varphi n)$
Setze ich das nun in Gleichung 9 linke Seite für alle Terme mit $\varphi$ ein erhalte ich:
$1-j\varphi (n+1) - 2 + 2j\varphi n + 1-j\varphi (n-1)} \Rightarrow 0$
Sprich die gesamte linke Seite der Gleichung wird zu null (kein Phasenshift = keine Spannungsänderung). Wie kommt man nun auf $\frac{\partial^2V_n}{\partial^2n}}$, was ja für die Spannungsänderung pro Segment steht?
(M.E. ist $\frac{\partial^2 V_n}{\partial^2n}} = -V_n * \varphi^2$)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Mi 07.11.2012 | | Autor: | chrisno |
ganz kurz nur: da steht das bis zur zweiten Ordnung entwickelt wird.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:26 Mi 07.11.2012 | | Autor: | n0000b |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
also entwickele ich die linke Seite der Gleichung 9 bis zur 2. Ordnung:
$1-j\varphi (n+1)+\frac{(j\varphi (n+1))^2}{2} - 2 + 2j\varphi n-2\frac{(j\varphi n)^2}{2} + 1-j\varphi (n-1)+\frac{(j\varphi (n-1))^2}{2}} = -\varphi^2n^2$
D.h. die linke Seite würde in $e^{j\omega t}(-\varphi^2n^2)$ resultieren?! Woher weiß man nun, dass man 2x nach n ableiten muss? Ich sehe noch nicht ganz das Licht am Ende des Tunnels...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 07.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Wieder nur ein kurzer Kommentar, zum selbst Rechnen komme ich nicht.
Wenn man auf einen Differenzterm aus ist und bei der Entwicklung bis zur ersten Ordnung nur Null herauskommt, dann muss man eben eine Ordnung mehr mitnehmen, solange, bis endlich eine Differenz ungleich Null erscheint.
Im Text steht, dass nur [mm] $V_{n+1}$ [/mm] und [mm] $V_{n-1}$ [/mm] entwickelt werden und zwar um [mm] $V_n$.
[/mm]
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:32 Do 08.11.2012 | | Autor: | n0000b |
Hi,
OK, dann stelle ich jetzt nochmal sauber die linke Seite der Glg. 9 für die Spannung auf mit den Randbedingungen
$ [mm] V_{n}=A_{n}*e^{-j(wt+\varphi n)} [/mm] $
$ [mm] V_{n+1}=A_{n+1}*e^{-j(wt+\varphi (n+1))} [/mm] $
$ [mm] V_{n-1}=A_{n-1}*e^{-j(wt+\varphi (n-1))} [/mm] $
und der Schwingungs-Amplitude $A$ sowie der Phasenverschiebung [mm] $\varphi$, [/mm] die sich pro Segment verändern (Amplitude wird gedämpft, Phase verschiebt sich).
[mm] $V_{n+1}$ [/mm] und [mm] $V_{n-1}$ [/mm] werden in eine Reihe 2. Ordnung entwickelt:
[mm] $\left[A_{n-1}*e^{-jwt}*(1-j\varphi (n-1)+\frac{(j\varphi (n-1))^2}{2})\right] -\left[2A_{n}*e^{-j(\omegat+\varphi n)}\right] +\left[A_{n+1}*e^{-jwt}*(1-j\varphi (n+1)+\frac{(j\varphi (n+1))^2}{2})\right]$
[/mm]
1.+3. eckige Klammer zusammenfassen
[mm] $\Rightarrow\left[(A_{n-1}+A_{n+1})e^{-j\omega t}(1-j\varphi (n-1)+\frac{(j\varphi (n-1))^2}{2}+1-j\varphi (n+1)+\frac{(j\varphi (n+1))^2}{2})\right]-\left[2A_{n}*e^{-j(wt+\varphi n)}\right]$
[/mm]
auflösen
[mm] $\Rightarrow\left[(A_{n-1}+A_{n+1})e^{-j\omega t}(-n^2\varphi^2-2jn\varphi-\varphi^2+2)\right]-\left[2A_{n}*e^{-j(wt+\varphi n)}\right]$
[/mm]
Und jetzt?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:43 Fr 16.11.2012 | | Autor: | n0000b |
Hallo,
kann es sein, dass ich die Reihenentwicklung von [mm] $e^{-j\varphi (n+1)}$ [/mm] bzw. [mm] $e^{-j\varphi (n-1)}$ [/mm] falsch mache?
Ich habe nochmal nachgerechnet und komme nun mit einer Reihenentwicklung 2. Ordnung für [mm] $e^{-j\varphi (n-1)}$ [/mm] auf:
[mm] $e^{j\varphi}-je^{j\varphi}\varphi n-\frac{1}{2}(e^{j\varphi}\varphi^2)n^2$
[/mm]
Könnt ihr mir das bestätigen?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 18.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Di 20.11.2012 | | Autor: | n0000b |
Also ich bin auch weiterhin an einer Antwort/Hilfestellung interessiert.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 17.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 15.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 16.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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