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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:15 Di 29.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | a) [mm] X=\IR, \mathcal{O} [/mm] bestehe aus [mm] \IR, \emptyset [/mm] und allen Intervallen $ [mm] (-\infty,a), [/mm] \ [mm] a\in\IR. [/mm] $
b) X sei eine nicht endliche Menge, [mm] \mathcal{O} [/mm] sei die Familie der Mengen, die aus [mm] \emptyset [/mm] und allen Komplementen von endlichen Teilmengen von X besteht.
Zeigen Sie für a) und b), dass [mm] (X,\mathcal{O}) [/mm] ein topologischer Raum ist.
c) $ (X,d) $ sei ein metrischer Raum. Zeigen Sie:
[mm] \mathcal{B}=\{B_{\delta}(x) \ | \ x\in X, \ \delta=\bruch{1}{k}, \ k\in\IN\} [/mm] ist eine Basis der von $ d $ induzierten Topologie auf X. |
Hallo, bin bei dem Thema noch unsicher, daher hier mein Ergebnis zur Korrektur. Danke schonmal fürs drüber schauen! Hier die mir vorliegende Definition einer Topologie.
a) (i) [mm] \emptyset\in\mathcal{O} [/mm] und [mm] \IR\in\mathcal{O} [/mm] ist klar.
(ii) Für Intervalle [mm] U_i:=(-\infty,a_i) [/mm] sei o.B.d.A. jeweils [mm] a_i
$ [mm] \bigcup_{i=1}^n{U_i}=U_1\cup [/mm] ... [mm] \cup U_n=U_n=(-\infty,a_n)\in\mathcal{O} [/mm] $ für endliche Vereinigungen und
$ [mm] \bigcup_{i=1}^\infty{U_i}=U_1\cup U_2\cup ...=(-\infty,\infty)\in \mathcal{O} [/mm] $ für unendliche bzw. für [mm] n\to\infty.
[/mm]
(iii) Wähle oBdA [mm] U_i [/mm] wie oben, dann gilt für endliche Durchschnitte:
[mm] \bigcap_{i=1}^{n}U_i=U_1\cap [/mm] ... [mm] \cap U_n=U_1 \in \mathcal{O}
[/mm]
Sehe ich das soweit richtig??
Zu b) (i) [mm] \emptyset \in \mathcal{O}. [/mm] Nun ist [mm] \emptyset [/mm] ebenfalls endliche Teilmenge von X, also das Komplement [mm] \overline{\emptyset}=X\backslash\emptyset=X \in \mathcal{O}.
[/mm]
(ii) Sei [mm] U_i [/mm] endliche Teilmenge von X. => [mm] \overline{U_i}\in\mathcal{O}.
[/mm]
Weiter ist $ [mm] \bigcap_{i\in I}U_i \in [/mm] X $ endliche Teilmenge von X.
=> $ [mm] \overline{\bigcap_{i\in I}U_i} \in \mathcal{O} [/mm] $
und das Komplement vom Durchschnitt ist die Vereinigung der Komplemente der [mm] U_i, [/mm] also:
$ [mm] \overline{\bigcap_{i\in I}U_i}=\bigcup_{i\in I}\overline{U_i} [/mm] $ Es folgt: $ [mm] \overline{U_i}\in\mathcal{O} [/mm] => [mm] \bigcup_{i\in I}\overline{U_i} \in \mathcal{O} [/mm] $
(iii) Seien [mm] U_1,...,U_n \in [/mm] X endlich. => [mm] \overline{U_1},...,\overline{U_n}\in\mathcal{O}
[/mm]
Weiter ist $ [mm] \bigcup_{i=1}^n{U_i}\in [/mm] X $ endlich. => $ [mm] \overline{\bigcup_{i=1}^n{U_i}}\in\mathcal{O} [/mm] $
Das Komplement der Vereinigung ist der Durchschnitt der Komplemente der [mm] U_i. [/mm] Also:
[mm] \overline{\bigcup_{i=1}^n{U_i}}=\bigcap_{i=1}^n{\overline{U_i}} [/mm] Also: $ [mm] \overline{U_1},...,\overline{U_n}\in\mathcal{O} [/mm] => [mm] \bigcap_{i=1}^n{\overline{U_i}}\in\mathcal{O} [/mm] $
So richtig?
c) Hier bin ich mir sehr unsicher.. Laut Definition heißt ein System von offenen Mengen in X Basis von V, wenn jede nichtleere Menge [mm] O\in [/mm] V Vereinigung von Mengen aus B ist.
Jetzt überdecken doch die [mm] B_\delta(x) [/mm] den ganzen Raum X. Also kann ich durch die Vereinigung gewisser [mm] B_\delta(x) [/mm] auch jede beliebige Menge [mm] O\in [/mm] V darstellen, oder sehe ich das falsch?
Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:02 Mi 30.05.2012 | | Autor: | chesn |
Thread kann geschlossen werden!
Gruß,
chesn
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