analysis seite 105, aufgabe 15 < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mo 27.06.2005 | | Autor: | pantoo |
ich habe ein großes probleme. ich muss diese aufgabe meiner klasse vorstellen, habe aber keine ahnung wie ich an diese aufgabe heran gehen und sie berechnen soll.
Aufgabe:
die tragfähigkeit von holzbalken ist proportional zur balkenbreite b und zum quadrat der balkenhöhe h.
a) aus einem zylindrischen baumstamm mit dem radius r soll ein balken maximaler tragfähigkeit herausgeschnitten werden. wie sind breite und höhe zu wählen?
b) wie genau ist die zimmermannsregel?
ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen. ich bedanke mich schon mal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
Ich habe Schwierigkeiten die Gleichung dann abzuleiten bzw. das Maximum für b zu berechnen:
T=K*b(4r²-b²)
T(b) = 4r²-b³
T'(b)=8r-3b²
0=8r-3b² das ergibt dann b= [mm] \wurzel{8/3r} [/mm] heissen
die korrekte Lösung soll aber b=[mm] \bruch{2}{3}\wurzel{3r} [/mm]
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...
|
|
|
| |
|
Hallo skipperhb,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> T=K*b(4r²-b²)
> T(b) = 4r²-b³
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast nicht konsequent ausmultipliziert.
Hier muss es heißen: $T(b) \ = \ [mm] k*\left(4r^2*\red{b}-b^3\right)$
[/mm]
> T'(b)=8r-3b²
Damit stimmt diese Ableitung auch nicht, denn schließlich musst Du ableiten nach [mm] $\red{b}$ [/mm] , und $r_$ ist als Konstante zu betrachten:
$T'(b) \ = \ [mm] k*\left(4r^2-3b^2\right)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Sa 11.02.2006 | | Autor: | skipperhb |
Vielen Dank Roadrunner
dann kann ich mich jetzt an Aufgabe b) machen 
|
|
|
| |
|
Hallo!!!
Jetzt habe ich doch noch ein Problem mit Aufgabe a) und zwar bei der Berechnung des Maximum für h.
T=k*[mm]\wurzel{8/3r}[/mm]*h² (Bmax war:[mm]\wurzel{8/3r}[/mm])
T(h)=[mm]\wurzel{8/3r}[/mm]*h²
T'(h)=[mm]\bruch{4}{3}[/mm][mm]r^{-0.5}[/mm]*2h
T'(h)=[mm]\bruch{\bruch{4}{3}}{ \wurzel{r}}[/mm]*2h
0=[mm]\bruch{\bruch{4}{3}}{ \wurzel{r}}[/mm]*2h
h=[mm] \bruch{ \bruch{4}{3}}{2* \wurzel{r}}[/mm]
Die Lösung scheint mir aber falsch zu sein, oder???
|
|
|
| |
|
Hallo skipper!
Was rechnest Du denn hier bzw. was möchtest Du denn erhalten? Das zugehörige $h_$ zu $b \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*r$ [/mm] ?
Dann setze doch einfach in die Nebenbedingung ein:
[mm] $h^2 [/mm] \ = \ [mm] 4r^2-b^2 [/mm] \ = \ [mm] 4r^2-\left( \ \bruch{2}{\wurzel{3}}*r \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 4r^2-\bruch{4}{3}*r^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{3}*r^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $h \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich verstehe nicht, wie man bei der Aufgabe auf die Nebenbedingung kommt!
Das Quadrat der Höhe soll also
4r²-b²
sein.
Was ist aber r und b - radius und balkenbreite?
Und wenn ich dann die Ableitungen heraus habe, bleiben doch immer noch viel zu viele Variabel übrig, oder?
Kann mir jemand erklären, wie ich zu der Lösung kommen kann und wie sich die Nebenbedingungen herleiten lassen?
Vielen Dank und viele Grüße
Hannacharlotte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Fr 20.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Hannacharlotte
Hast du ne Zeichnung?
Ziehe vom Mittelpunkt des Kreises einen Radius zu einer Ecke, ausserdem die 2 Linien vom Mittelpunkt zu den Mitten der Seiten.
jetzt hast du ein rechtwinkliges Dreieck, Hypothenuse r, die 2 Katheten h/2 und b/2. Dann Pythagoras.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Di 28.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> b) wie genau ist die zimmermannsregel?
fuer solche Probleme gibts gluecklicherweise Suchseiten, wie google, ...
folgenede Zimmermannsregeln kann man z.B. finden:
.) "Dachschindeln aus Lärche halten soviel Jahre wie die Dachneigung in Grade"
.) "Wer über die Schnur haut, den holt der Teufel"
.) "Drei Latten der Laenge 3, 4 und 5 Meter ergeben zusammengenagelt ein rechtwinkliges Dreieck"
Wobei die letzte Regel in Anbetracht des Beispiels am meisten Sinn macht.
Begruenden musst du das aber schon selber
lG
Peter
|
|
|
| |
|
Hi, pantoo,
die Regel, die ich unter diesem Namen "kenne" (genauer: von ihr gehört habe), ist außerordentlich interessant!
Es handelt sich dabei um die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Hilfe eines in 12 gleiche Teile unterteilten Seils.
(Der Fünfeckwinkel tritt beim Dachfirst, aber auch im Fachwerk alter Häuser häufig auf; daher war es für Zimmerleute nötig, ihn konstruieren zu können. Ob das heute noch gebraucht wird, weiß ich nicht!)
Ich habe mal einen Vortrag gehört, in dem bewiesen wurde, dass diese Konstruktion EXAKT ist, also keine Näherung - und dies ist doch sehr überraschend!
Leider finde ich auf die Schnelle weder im Internet (google) noch in meinen Ordnern Ausführlicheres darüber.
Aber wenn's in Deinem Buch steht, müsste die Aufgabe doch dort näher erläutert werden!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Di 28.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, pantoo,
"habe nun, ach, google studiert mit reichlichem Bemühn, ..."
und bin bei Wikipedia fündig geworden:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCnfeck
Zwar tritt hier der Name "Zimmermannsregel" oder "Zimmermannskonstruktion" auch nicht auf, aber die hier beschriebene "Konstruktion mit Zirkel und vorgegebenem Schenkel" trifft (so glaub' ich, mich zu erinnern) ziemlich genau eben dieselbe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Di 28.06.2005 | | Autor: | pantoo |
ich habe die zimmermannsregel gefunden, hier ist sie:
Zeichne auf eine kreisförmige Querschnittsfläche des baumstammes einen durchmesser; teile diesen in drei gleich teile; ziehe in jedem teilpunkt die senkrechte zum durchmesser; so ergibt sich der gesuchte balkenquerschnitt.
zeichnung konnte ich leider nicht einfügen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 28.06.2005 | | Autor: | pantoo |
die zeichnung
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Mi 29.06.2005 | | Autor: | informix |
Hallo pantoo,
danke für die Zeichnung.
Hast du nun auch schon eine Antwort auf die Frage, ob die Zimmermannsregel eine gute Näherung für die Balkenaufgabe ist?
Liefert sie dieselben/ähnliche Maße wie die Extremwertaufgabe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Do 30.06.2005 | | Autor: | pantoo |
hallo
ich habe die aufgabe a gelöst, komme aber immer noch nicht mit der aufgabe b klar. ich habe auch keinerlei ideen, wie ich an die aufgabe heran gehen soll.
ich hoffe ihr könnt mir wieder helfen.
scöne grüße pantoo
|
|
|
| |
|
Hi, pantoo,
wenn Du Aufgabe a) gelöst hast, kennst Du jetzt ja die Seiten des Rechtecks und auch seinen Flächeninhalt.
(Ich vermute mal, Du hast sowas wie: [mm] F=\bruch{1}{3}\wurzel{2}d^{2}, [/mm] wobei d der Durchmesser des Balkens ist).
Nun musst Du Seiten bzw. Flächeninhalt des Rechtecks bestimmen, das nach der Zimmermannsregel rauskommt.
Nimm mal zunächst nur das rechtwinklige Dreieck mit der Grundlinie 3a (laut Skizze).
Dann gilt für die Höhe dieses Dreiecks nach dem Höhensatz [mm] (h^{2}=pq):
[/mm]
[mm] h^{2} [/mm] = 2a*a = [mm] 2a^{2}; [/mm] demnach: [mm] h=a*\wurzel{2}.
[/mm]
Die Fläche dieses Dreiecks ist also:
[mm] F_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*3a*a*\wurzel{2} [/mm] = [mm] 1,5a^{2}*\wurzel{2}
[/mm]
und folglich ist die Fläche des gesamten Rechtecks:
[mm] F=3a^{2}*\wurzel{2}
[/mm]
Wenn Du nun noch berücksichtigst, dass d = 3a ist, wirst Du "etwas Erstaunliches" rauskriegen!
|
|
|
|
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
