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Hey, mal angenommen ich hab 2 Zufallsvariablen, die N(0,1) verteilt sind und unabhängig sind. Nun möchte ich die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen M=X-2Y und N=3X+1 wissen. Wie geh ich da ran?
Also es handelt sich ja um eine Normalverteilung, die mit den angegeben Werten dann die folgende Dichte für X und Y liefert:
[mm] f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}
[/mm]
da X und Y unabhängig sind, kann man dann die Dichten ja einfach multiplizieren oder??
Dann müsste ich also die Dichten von M und N ersteinmal bestimmen. Wie kann ich da jetzt rangehen???
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Di 01.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hey, mal angenommen ich hab 2 Zufallsvariablen, die N(0,1)
> verteilt sind und unabhängig sind. Nun möchte ich die
> gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen M=X-2Y und N=3X+1
> wissen. Wie geh ich da ran?
>
> Also es handelt sich ja um eine Normalverteilung, die mit
> den angegeben Werten dann die folgende Dichte für X und Y
> liefert:
>
> [mm]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}[/mm]
Also sowohl $X$ wie auch $Y$ sind standardnormalverteilt und unabhaengig?
> da X und Y unabhängig sind, kann man dann die Dichten ja
> einfach multiplizieren oder??
Von $X$ und $Y$ schon. Aber nicht fuer $M$ und $N$.
> Dann müsste ich also die Dichten von M und N ersteinmal
> bestimmen. Wie kann ich da jetzt rangehen???
Wieso? Berechne doch gleich die gemeinsame Dichte, indem du die gemeinsame Verteilungsfunktion bestimmst und passend ableitest.
Es ist doch [mm] $F^{(M, N)}(x, [/mm] y) = P(M [mm] \le [/mm] x, N [mm] \le [/mm] y) = P(X - 2 Y [mm] \le [/mm] x, 3 X + 1 [mm] \le [/mm] y) = P(X - 2 Y [mm] \le [/mm] x, X [mm] \le \frac{y - 1}{3})$. [/mm] Du musst also ueber $f(u) f(v)$ integrieren ueber alle $(u, v)$ mit $u - 2 v [mm] \le [/mm] x$, $u [mm] \le \frac{y - 1}{3}$. [/mm] Dann leg mal los.
LG Felix
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hey also ich hab mir jetzt mal folgendes dazu überlegt: also erstmal ja X und Y sind beide standardnormalverteilt und unabhängig
also ich hab erstmal nur die Dichte für M=X-2Y berechnet: dabei sei mit 1 jetzt die Indikatorfunktion gemeint und [mm] f_{X} [/mm] und [mm] f_{Y} [/mm] seien die Dichten von X und Y also Standardnormalverteilung :
[mm] F_{M}(z)=P(X-2Y\le z)=E(1_{]-\infty,z]}(X-2Y))
[/mm]
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{]-\infty,z]}(x-2y)*f_{X}(x)*f_{Y}(y)*dx dy}
[/mm]
Nun Substitution: w=x-2y und nach dem Satz von Fubini kann ich dann doch die Integrale auseinander ziehen:
[mm] =\integral_{-\infty}^{z}{1*(}\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(w+2y)*f_{Y}(y)*dy) dw}
[/mm]
dabei kommt das erste Integral durch die Indikatorfunktion, die dann an der Stelle w ausgewertet wird zustande. Nach Definition der Dichte gilt doch dann:
[mm] \integral_{-\infty}^{z}{1*}\underbrace{\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(w+2y)*f_{Y}(y)*dy)}}_{=Dichte von M=X-2Y} [/mm] dw
Kann ich das so machen?? Ich würde damm als Dichte [mm] f_{M}(w)=\frac{1}{\sqrt{10\pi}}*e^{-\frac{w^{2}}{10}} [/mm] erhalten, wenn ich das Integral löse
Wenn ich das für N=3X+1 genauso machen würde, hätte ich dann nicht nur ein einfaches Integral anstatt eines Doppelintegrals??
mfg piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hey also ich hab mir jetzt mal folgendes dazu überlegt:
> also erstmal ja X und Y sind beide standardnormalverteilt
> und unabhängig
>
> also ich hab erstmal nur die Dichte für M=X-2Y berechnet:
> dabei sei mit 1 jetzt die Indikatorfunktion gemeint und
> [mm]f_{X}[/mm] und [mm]f_{Y}[/mm] seien die Dichten von X und Y also
> Standardnormalverteilung :
> [mm]F_{M}(z)=P(X-2Y\le z)=E(1_{]-\infty,z]}(X-2Y))[/mm]
>
> [mm]=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{]-\infty,z]}(x-2y)*f_{X}(x)*f_{Y}(y)*dx dy}[/mm]
>
> Nun Substitution: w=x-2y und nach dem Satz von Fubini kann
> ich dann doch die Integrale auseinander ziehen:
>
> [mm]=\integral_{-\infty}^{z}{1*(}\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(w+2y)*f_{Y}(y)*dy) dw}[/mm]
>
> dabei kommt das erste Integral durch die Indikatorfunktion,
> die dann an der Stelle w ausgewertet wird zustande. Nach
> Definition der Dichte gilt doch dann:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{z}{1*}\underbrace{\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(w+2y)*f_{Y}(y)*dy)}}_{=Dichte von M=X-2Y}[/mm]
> dw
>
> Kann ich das so machen??
Ja.
> Ich würde damm als Dichte
> [mm]f_{M}(w)=\frac{1}{\sqrt{10\pi}}*e^{-\frac{w^{2}}{10}}[/mm]
> erhalten, wenn ich das Integral löse
Das hab ich jetzt nicht nachgerechnet; aber es sieht (wie zu erwarten war) wie eine Normalverteilung aus.
Laut Theorie duerfte $M = X - 2 Y$ auch eine Normalverteilung mit Erwartungswert $0 - 2 [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$ und Varianz $1 + [mm] 2^2 \cdot [/mm] 1 = 5$ sein: aber deren Dichte ist auch gerade [mm] $\frac{1}{\sqrt{10 \pi}} e^{-w^2/10}$, [/mm] wie die von dir berechnete.
> Wenn ich das für N=3X+1 genauso machen würde, hätte ich
> dann nicht nur ein einfaches Integral anstatt eines
> Doppelintegrals??
Ja. Es sollte die Dichte [mm] $\frac{1}{\sqrt{18 \pi}} e^{-(v - 1)^2 / 18}$ [/mm] herauskommen.
Du bist allerdings an der gemeinsamen Dichte interessiert. Dafuer musst du etwas mehr tun als nur die Randdichten berechnen.
LG Felix
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kann ich für die gemeinsame Dichte dann nicht einfach das Produkt aus den beiden errechneten Dichten nehmen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> kann ich für die gemeinsame Dichte dann nicht einfach das
> Produkt aus den beiden errechneten Dichten nehmen???
Warum sollten die beiden Zufallsvariablen $M$ und $N$ unabhaengig sein?
LG Felix
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Weil die beiden aus X und Y ja quasi gebildet werden und X und Y sind unabhängig, daher hätte ich gedacht, dass ich dann auch annehmen kann, dass M und N auch unabhängig sind. Aber das scheint ja falsch zu sein:-(
Kann ich denn mit meinen beiden Ergebnissen jetzt irgendetwas anfangen???
mfg piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Weil die beiden aus X und Y ja quasi gebildet werden und X
> und Y sind unabhängig, daher hätte ich gedacht, dass ich
> dann auch annehmen kann, dass M und N auch unabhängig
> sind. Aber das scheint ja falsch zu sein:-(
Ja, das ist i.A. auch falsch. Nimm etwa zwei unabhaengige Muenzwuerfe $X$ und $Y$, die die Werte $0$ und $1$ annehmen. Wenn du weisst, dass $X + Y = 2$ ist, dann muss $X$ den Wert 1 haben. Daraus folgt schon, dass $X + Y$ und $X$ hier nicht unabhaengig sind.
> Kann ich denn mit meinen beiden Ergebnissen jetzt
> irgendetwas anfangen???
Nicht wirklich. Hoechstens nachher gucken, ob $M$ und $N$ tatsaechlich unabhaengig sind.
Wie du die gemeinsame Dichte ausrechnen kannst hab ich dir ja schon geschrieben.
LG Felix
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hmm, na gut, dann versuch ich das so nochmal. Du hattest ja geschrieben [mm] F^{(M, N)}(x, [/mm] y) = P(M [mm] \le [/mm] x, N [mm] \le [/mm] y) = P(X - 2 Y [mm] \le [/mm] x, 3 X + 1 [mm] \le [/mm] y) = P(X - 2 Y [mm] \le [/mm] x, X [mm] \le \frac{y - 1}{3})
[/mm]
Nun weiss ich nicht so genau, wie ich das Integral da aufstellen kann, da da ja noch ein Komma steht, könntest du mir das evtl nochmal erklären???
danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 04.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 02.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
da schau her.
vg Luis
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sorry, aber den Satz kenn ich so leider gar nicht, bzw. auch die ganze Vorbetrachtung dort ist mir völlig neu, haben wir so leider nicht behandelt.
trotzdem danke
mfg piccolo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Mi 02.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> sorry, aber den Satz kenn ich so leider gar nicht, bzw.
> auch die ganze Vorbetrachtung dort ist mir völlig neu,
> haben wir so leider nicht behandelt.
Anscheinend besucht ihr doch dieselbe Veranstaltung. Wie kommt es,
dass dein Kollege etwas mit dem Hinweis anfangen konnte?
Was weisst du denn ueber die bivariate NV bzw. ueber lineare Transformationen normalverteilter Variablen?
vg Luis
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darüber weiss ich leider nichts, wir hatten nur Normalverteilung behandelt in der Vorlesung, mehr dazu nicht.
Kann man auch irgendwie evtl über die charakteristische Funktion gehen??? die hatten wir noch in dem Zusammenhang.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 04.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 04.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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