www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Stochastikgemeinsame Dichte
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Stochastik" - gemeinsame Dichte
gemeinsame Dichte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

gemeinsame Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mo 30.11.2009
Autor: piccolo1986

Hey, mal angenommen ich hab 2 Zufallsvariablen, die N(0,1) verteilt sind und unabhängig sind. Nun möchte ich die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen M=X-2Y und N=3X+1 wissen. Wie geh ich da ran?

Also es handelt sich ja um eine Normalverteilung, die mit den angegeben Werten dann die folgende Dichte für X und Y liefert:

[mm] f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}} [/mm]

da X und Y unabhängig sind, kann man dann die Dichten ja einfach multiplizieren oder??
Dann müsste ich also die Dichten von M und N ersteinmal bestimmen. Wie kann ich da jetzt rangehen???

mfg piccolo

        
Bezug
gemeinsame Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:19 Di 01.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Hey, mal angenommen ich hab 2 Zufallsvariablen, die N(0,1)
> verteilt sind und unabhängig sind. Nun möchte ich die
> gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen M=X-2Y und N=3X+1
> wissen. Wie geh ich da ran?
>  
> Also es handelt sich ja um eine Normalverteilung, die mit
> den angegeben Werten dann die folgende Dichte für X und Y
> liefert:
>  
> [mm]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}[/mm]

Also sowohl $X$ wie auch $Y$ sind standardnormalverteilt und unabhaengig?

> da X und Y unabhängig sind, kann man dann die Dichten ja
> einfach multiplizieren oder??

Von $X$ und $Y$ schon. Aber nicht fuer $M$ und $N$.

> Dann müsste ich also die Dichten von M und N ersteinmal
> bestimmen. Wie kann ich da jetzt rangehen???

Wieso? Berechne doch gleich die gemeinsame Dichte, indem du die gemeinsame Verteilungsfunktion bestimmst und passend ableitest.

Es ist doch [mm] $F^{(M, N)}(x, [/mm] y) = P(M [mm] \le [/mm] x, N [mm] \le [/mm] y) = P(X - 2 Y [mm] \le [/mm] x, 3 X + 1 [mm] \le [/mm] y) = P(X - 2 Y [mm] \le [/mm] x, X [mm] \le \frac{y - 1}{3})$. [/mm] Du musst also ueber $f(u) f(v)$ integrieren ueber alle $(u, v)$ mit $u - 2 v [mm] \le [/mm] x$, $u [mm] \le \frac{y - 1}{3}$. [/mm] Dann leg mal los.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
gemeinsame Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Di 01.12.2009
Autor: piccolo1986

hey also ich hab mir jetzt mal folgendes dazu überlegt: also erstmal ja X und Y sind beide standardnormalverteilt und unabhängig

also ich hab erstmal nur die Dichte für M=X-2Y berechnet: dabei sei mit 1 jetzt die Indikatorfunktion gemeint und [mm] f_{X} [/mm] und [mm] f_{Y} [/mm] seien die Dichten von X und Y also Standardnormalverteilung :
[mm] F_{M}(z)=P(X-2Y\le z)=E(1_{]-\infty,z]}(X-2Y)) [/mm]
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{]-\infty,z]}(x-2y)*f_{X}(x)*f_{Y}(y)*dx dy} [/mm]

Nun Substitution: w=x-2y und nach dem Satz von Fubini kann ich dann doch die Integrale auseinander ziehen:
[mm] =\integral_{-\infty}^{z}{1*(}\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(w+2y)*f_{Y}(y)*dy) dw} [/mm]

dabei kommt das erste Integral durch die Indikatorfunktion, die dann an der Stelle w ausgewertet wird zustande. Nach Definition der Dichte gilt doch dann:

[mm] \integral_{-\infty}^{z}{1*}\underbrace{\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(w+2y)*f_{Y}(y)*dy)}}_{=Dichte von M=X-2Y} [/mm] dw

Kann ich das so machen?? Ich würde damm als Dichte [mm] f_{M}(w)=\frac{1}{\sqrt{10\pi}}*e^{-\frac{w^{2}}{10}} [/mm] erhalten, wenn ich das Integral löse

Wenn ich das für N=3X+1 genauso machen würde, hätte ich dann nicht nur ein einfaches Integral anstatt eines Doppelintegrals??

mfg piccolo

Bezug
                        
Bezug
gemeinsame Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Mi 02.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> hey also ich hab mir jetzt mal folgendes dazu überlegt:
> also erstmal ja X und Y sind beide standardnormalverteilt
> und unabhängig
>  
> also ich hab erstmal nur die Dichte für M=X-2Y berechnet:
> dabei sei mit 1 jetzt die Indikatorfunktion gemeint und
> [mm]f_{X}[/mm] und [mm]f_{Y}[/mm] seien die Dichten von X und Y also
> Standardnormalverteilung :
>  [mm]F_{M}(z)=P(X-2Y\le z)=E(1_{]-\infty,z]}(X-2Y))[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{]-\infty,z]}(x-2y)*f_{X}(x)*f_{Y}(y)*dx dy}[/mm]
>  
> Nun Substitution: w=x-2y und nach dem Satz von Fubini kann
> ich dann doch die Integrale auseinander ziehen:
>  
> [mm]=\integral_{-\infty}^{z}{1*(}\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(w+2y)*f_{Y}(y)*dy) dw}[/mm]
>  
> dabei kommt das erste Integral durch die Indikatorfunktion,
> die dann an der Stelle w ausgewertet wird zustande. Nach
> Definition der Dichte gilt doch dann:
>  
> [mm]\integral_{-\infty}^{z}{1*}\underbrace{\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(w+2y)*f_{Y}(y)*dy)}}_{=Dichte von M=X-2Y}[/mm]
> dw
>  
> Kann ich das so machen??

Ja.

> Ich würde damm als Dichte
> [mm]f_{M}(w)=\frac{1}{\sqrt{10\pi}}*e^{-\frac{w^{2}}{10}}[/mm]
> erhalten, wenn ich das Integral löse

Das hab ich jetzt nicht nachgerechnet; aber es sieht (wie zu erwarten war) wie eine Normalverteilung aus.

Laut Theorie duerfte $M = X - 2 Y$ auch eine Normalverteilung mit Erwartungswert $0 - 2 [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$ und Varianz $1 + [mm] 2^2 \cdot [/mm] 1 = 5$ sein: aber deren Dichte ist auch gerade [mm] $\frac{1}{\sqrt{10 \pi}} e^{-w^2/10}$, [/mm] wie die von dir berechnete.

> Wenn ich das für N=3X+1 genauso machen würde, hätte ich
> dann nicht nur ein einfaches Integral anstatt eines
> Doppelintegrals??

Ja. Es sollte die Dichte [mm] $\frac{1}{\sqrt{18 \pi}} e^{-(v - 1)^2 / 18}$ [/mm] herauskommen.

Du bist allerdings an der gemeinsamen Dichte interessiert. Dafuer musst du etwas mehr tun als nur die Randdichten berechnen.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
gemeinsame Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Mi 02.12.2009
Autor: piccolo1986

kann ich für die gemeinsame Dichte dann nicht einfach das Produkt aus den beiden errechneten Dichten nehmen???

Bezug
                                        
Bezug
gemeinsame Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mi 02.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> kann ich für die gemeinsame Dichte dann nicht einfach das
> Produkt aus den beiden errechneten Dichten nehmen???

Warum sollten die beiden Zufallsvariablen $M$ und $N$ unabhaengig sein?

LG Felix


Bezug
                                                
Bezug
gemeinsame Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Mi 02.12.2009
Autor: piccolo1986

Weil die beiden aus X und Y ja quasi gebildet werden und X und Y sind unabhängig, daher hätte ich gedacht, dass ich dann auch annehmen kann, dass M und N auch unabhängig sind. Aber das scheint ja falsch zu sein:-(

Kann ich denn mit meinen beiden Ergebnissen jetzt irgendetwas anfangen???

mfg piccolo

Bezug
                                                        
Bezug
gemeinsame Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Mi 02.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Weil die beiden aus X und Y ja quasi gebildet werden und X
> und Y sind unabhängig, daher hätte ich gedacht, dass ich
> dann auch annehmen kann, dass M und N auch unabhängig
> sind. Aber das scheint ja falsch zu sein:-(

Ja, das ist i.A. auch falsch. Nimm etwa zwei unabhaengige Muenzwuerfe $X$ und $Y$, die die Werte $0$ und $1$ annehmen. Wenn du weisst, dass $X + Y = 2$ ist, dann muss $X$ den Wert 1 haben. Daraus folgt schon, dass $X + Y$ und $X$ hier nicht unabhaengig sind.

> Kann ich denn mit meinen beiden Ergebnissen jetzt
> irgendetwas anfangen???

Nicht wirklich. Hoechstens nachher gucken, ob $M$ und $N$ tatsaechlich unabhaengig sind.

Wie du die gemeinsame Dichte ausrechnen kannst hab ich dir ja schon geschrieben.

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
gemeinsame Dichte: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:37 Mi 02.12.2009
Autor: piccolo1986

hmm, na gut, dann versuch ich das so nochmal. Du hattest ja geschrieben [mm] F^{(M, N)}(x, [/mm] y) = P(M [mm] \le [/mm] x, N [mm] \le [/mm] y) = P(X - 2 Y [mm] \le [/mm] x, 3 X + 1 [mm] \le [/mm] y) = P(X - 2 Y [mm] \le [/mm] x, X [mm] \le \frac{y - 1}{3}) [/mm]

Nun weiss ich nicht so genau, wie ich das Integral da aufstellen kann, da da ja noch ein Komma steht, könntest du mir das evtl nochmal erklären???

danke

Bezug
                                                                        
Bezug
gemeinsame Dichte: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 04.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
gemeinsame Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Mi 02.12.2009
Autor: luis52

Moin,

da schau her.

vg Luis

Bezug
                
Bezug
gemeinsame Dichte: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:44 Mi 02.12.2009
Autor: piccolo1986

sorry, aber den Satz kenn ich so leider gar nicht, bzw. auch die ganze Vorbetrachtung dort ist mir völlig neu, haben wir so leider nicht behandelt.

trotzdem danke

mfg piccolo

Bezug
                        
Bezug
gemeinsame Dichte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Mi 02.12.2009
Autor: luis52


> sorry, aber den Satz kenn ich so leider gar nicht, bzw.
> auch die ganze Vorbetrachtung dort ist mir völlig neu,
> haben wir so leider nicht behandelt.

Anscheinend besucht ihr doch dieselbe Veranstaltung. Wie kommt es,
dass dein Kollege etwas mit dem Hinweis anfangen konnte?

Was weisst du denn ueber die bivariate NV bzw. ueber lineare Transformationen normalverteilter Variablen?

vg Luis

Bezug
                                
Bezug
gemeinsame Dichte: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:01 Mi 02.12.2009
Autor: piccolo1986

darüber weiss ich leider nichts, wir hatten nur Normalverteilung behandelt in der Vorlesung, mehr dazu nicht.

Kann man auch irgendwie evtl über die charakteristische Funktion gehen??? die hatten wir noch in dem Zusammenhang.

Bezug
                                        
Bezug
gemeinsame Dichte: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 04.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
gemeinsame Dichte: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 04.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]