partielle ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 So 26.10.2008 | | Autor: | rudi33 |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion V (x,y,z)=1/ [mm] wurzel{x^2+y^2+z^2}. [/mm] Bilden Sie sowohl die ersten partiellen Ableitungen, V(x),V(y),V(z) als auch die zweiten partiellen Ableiungen V(xx),V(yy),V(zz), etc.Zeigen Sie, das die Funktion V die sogenannte Laplacesche Differenzialgleichung erfüllt. |
ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt.ich weiß das ich für die partiellen ableitungen die kettenregel benutzen muß. komme aber zu keinem brauchbarem ergebnis. schön wäre wenn ihr mir für die erste und zweite partielle ableitung für vx und vxx den rechenweg verständlich geben könntet, damit ich es auch nachvollziehen kann:)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 So 26.10.2008 | | Autor: | eumel |
hallo,
das sieht zwar aufn ersten blick komplex aus, is aber billig, du kannst doch [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{c+x^2}} [/mm] , [mm] c\in\IR. [/mm]
-> [mm] f'(x)=\bruch{x}{\wurzel{(x^2+c)^3}}
[/mm]
bei deiner fkt. leitest du dann ledigleich nach x ab, lässt y und z konstant [mm] (y^2+z^2 [/mm] = c)
dito dann nach y und z ableiten.
beim 2. ableiten ist die quotientenregel nicht zu verachten.
so viel dazu, laplace'sche dgl kenn ich nicht... so wie das bei wiki angezeigt wird kannse wohl die fkt nach einer variablen umstellen, musst also ne fkt f, abhängig von 2 variablen, haben und diese dann 2x nach x und y ableiten und zeigen, dass diese 2 ableitungen addiert 0 sind.
nur obs genau so geht, keine ahnung, sons hör lieber auf weitere antworten, falls die folgen sollten.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 26.10.2008 | | Autor: | rudi33 |
ich habe bei der ersten ableitung den selben ausdruck raus, aber mit negativem [mm] vorzeichen.f(x)=(c+x^2)^-1/2 demnachv(x)=-1/2(c+x^2)^-3/2*2x alsov(x)=-x/(c+x^2)^3/2stimmt [/mm] das? für die zweite ableitung mit [mm] quotientenregel:v(xx)=(x^2+c)^3/2 [/mm] + 3x / [mm] (x^2+c)+(x^2+c)^5/2
[/mm]
bitte um berichtigung und danke im voraus:)
|
|
|
| |
|
Hallo rudi33,
> ich habe bei der ersten ableitung den selben ausdruck raus,
> aber mit negativem
> [mm]vorzeichen.f(x)=(c+x^2)^-1/2 demnachv(x)=-1/2(c+x^2)^-3/2*2x alsov(x)=-x/(c+x^2)^3/2stimmt[/mm]
> das? für die zweite ableitung mit
> [mm]quotientenregel:v(xx)=(x^2+c)^3/2[/mm] + 3x /
> [mm](x^2+c)+(x^2+c)^5/2[/mm]
Die erste Ableitung von V nach x stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]v\left(x\right)=-\bruch{x}{\left(c+x^{2}\right)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
Die zweite Ableitung mußt nochmal nachrechnen.
>
> bitte um berichtigung und danke im voraus:)
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mo 27.10.2008 | | Autor: | rudi33 |
hey, wär nett, wenn ihr nochmal schauen könntet, ob ich auf dem richtigen weg bin;)
[mm] v(xx)=\bruch{1-3*x^2}{\wurzel{(x^2+y^2+z^2)^3}-\wurzel{(x^2+y^2+z^2)^5}}
[/mm]
dankö schonma:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mo 27.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo. Das passt so nicht:
[mm] v_{x}=-\bruch{\overbrace{x}^{f}}{\underbrace{(c+x^{2})^{\bruch{3}{2}}}_{g}}
[/mm]
Und somit mit der Quotientenregel und der Kettenregel für g'
Also g':
[mm] g=(c+x^{2})^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] g'=\underbrace{\bruch{3}{2}*(c+x²)^{\bruch{1}{2}}}_{\text{Äussere Abl.}}*\underbrace{2x}_{\text{Innere Abl.}}
[/mm]
Damit ergibt sich für [mm] v_{xx}
[/mm]
[mm] v_{xx}=-\bruch{\overbrace{1}^{f'}\overbrace{(c+x^{2})^{\bruch{3}{2}}}^{g}-\overbrace{x}^{f}*\overbrace{\bruch{3}{2}*(c+x²)^{\bruch{1}{2}}*2x}^{g'}}{\underbrace{\left[(c+x^{2})^{\bruch{3}{2}}\right]^{2}}_{g²}}
[/mm]
Das ganze kannst du natürlich jetzt noch vereinfachen.
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo rudi33,
> Gegeben sei die Funktion V (x,y,z)=1/ [mm]wurzel{x^2+y^2+z^2}.[/mm]
> Bilden Sie sowohl die ersten partiellen Ableitungen,
> V(x),V(y),V(z) als auch die zweiten partiellen Ableiungen
> V(xx),V(yy),V(zz), etc.Zeigen Sie, das die Funktion V die
> sogenannte Laplacesche Differenzialgleichung erfüllt.
> ich habe diese frage in keinem forum auf anderen
> internetseiten gestellt.ich weiß das ich für die partiellen
> ableitungen die kettenregel benutzen muß. komme aber zu
> keinem brauchbarem ergebnis. schön wäre wenn ihr mir für
> die erste und zweite partielle ableitung für vx und vxx den
> rechenweg verständlich geben könntet, damit ich es auch
> nachvollziehen kann:)
Die Laplacesche Differentialgleichung lautet im vorliegenden Fall:
[mm]\bruch{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\bruch{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\bruch{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
