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Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung Beispiel-Mengengleichheit

Wie führe ich einen Beweis?

$ \leftarrow $ b) Teilmengenbeziehung 2 $ \uparrow $ 5. Beispiele $ \rightarrow $ d) Gruppe

5. Beispiele


c) Gleichheit von Mengen


Aufgabe:

Seien $ X $,$ Y $ und $ Z $ Mengen. Zeigen Sie, dass $ X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ gilt.


Vorbereitung des Beweises:

Voraussetzungen:

Keine speziellen.

Behauptung:

$ X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $

Dabei ist

    $ X\setminus (Y\cup Z)=\{a\;|\;a\in X\text{ und }a\not\in (Y\cup Z)\} $,

wobei

    $ Y\cup Z=\{a\;|\;a\in Y\text{ oder }a\in Z\} $,

sowie

    $ (X\setminus Y)\cap(X\setminus Z)=\{a\;|\;a\in X\setminus Y\text{ und }a\in X\setminus Z\} $,

wobei

    $ X\setminus Y=\{a\;|\;a\in X\text{ und }a\not\in Y\} $

und

    $ X\setminus Y=\{a\;|\;a\in X\text{ und }a\not\in Y\} $.


Rahmen des Beweises:

Zu zeigen ist also eine Gleichheit von Mengen. Punkt h) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir haben nacheinander $ X\setminus(Y\cup Z)\subseteq(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ und $ (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)\subseteq X\setminus(Y\cup Z) $ zu zeigen.

Fangen wir mit $ X\setminus(Y\cup Z)\subseteq(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ an. Punkt i) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was dazu zu tun ist: Wir betrachten ein beliebig vorgegebenes Element $ a\in X\setminus(Y\cup Z) $ und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung $ a\in X\setminus(Y\cup Z) $, dass auch $ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ gilt.

$ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ bedeutet $ a\in X\setminus Y $ und $ a\in X\setminus Z $. Punkt a) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, dass wir für diese "und"-Aussage nacheinander die beiden Aussagen zeigen müssen. $ a\in X\setminus Y $ bedeutet $ a\in X $ und $ a\not\in Y $. Nacheinander sind also diese beiden Aussagen zu zeigen. $ a\in X\setminus Z $ bedeutet $ a\in X $ und $ a\not\in Z $. Auch diese Aussagen sind nacheinander zu zeígen.

Kommen wir nun zum Beweisrahmen für $ (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)\subseteq X\setminus(Y\cup Z) $. Wir betrachten wieder wie in Punkt i) unter 3. Wie zeige ich...? beschrieben ein beliebig vorgegebenes Elemente $ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung $ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $, dass auch $ a\in X\setminus (Y\cup Z) $ gilt.

$ a\in X\setminus (Y\cup Z) $ bedeutet $ a\in X $ und $ a\not\in Y\cup Z $. Letzteres bedeutet "nicht $ a\in Y\cup Z $". Punkt e) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was dazu zu tun ist: Wir nehmen $ a\in Y\cup Z $ an und führen diese Annahme zu einem Widerspruch.


Somit ergibt sich folgender Beweisrahmen:

Zu zeigen ist, dass $ X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ gilt.

"$ \subseteq $":
Sei $ a\in X\setminus(Y\cup Z) $.
Zu zeigen ist $ a\in (X\setminus Y)\cap(X\setminus Z) $, d.h. $ a\in X\setminus Y $ und $ a\in X\setminus Z $.
...
Hauptteil für "$ \subseteq $"
($ a\in X\setminus Y $, d.h. $ a\in X $ und $ a\not\in Y $, zeigen.)
($ a\in X\setminus Z $, d.h. $ a\in X $ und $ a\not\in Z $, zeigen.)
...
Somit gilt $ a\in (X\setminus Y)\cap(X\setminus Z) $.
Da $ a\in X\setminus(Y\cap Z) $ beliebig war, folgt $ X\setminus(Y\cup Z)\subseteq (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $.

"$ \supseteq $":
Sei $ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $.
Zu zeigen ist $ a\in X\setminus (Y\cup Z) $, d.h. $ a\in X $ und $ a\not\in Y\cup Z $.
...
Hauptteil für "$ \supseteq $"
($ a\in X $ zeigen.)
($ a\not\in Y\cup Z $ zeigen. Dazu:)
Angenommen $ a\in Y\cup Z $.
(Widerspruch folgern)
...
Somit gilt $ a\in X\setminus (Y\cup Z) $.
Da $ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ beliebig war, folgt $ (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)\subseteq X\setminus(Y\cup Z) $.

Damit ist $ X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ gezeigt.


Hauptteil des Beweises:

Fangen wir mit dem Hauptteil des Nachweises von $ X\setminus(Y\cup Z)\subseteq(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ an. Wir haben als zusätzliche Voraussetzung $ a\in X\setminus(X\cup Z) $. Das bedeutet: $ a\in X $ und $ a\not\in Y\cup Z $. Letzteres bedeutet (nicht $ a\in Y\cup Z $), d.h. (nicht ($ a\in Y $ oder $ a\in Z $)). Punkt e) unter 4. Wie benutze ich...? verrät uns, wie wir eine solche "nicht"-Aussage verwenden können: Wir über überlegen uns, was sie in unserem Fall bedeutet, nämlich (nicht $ a\in Y $) und (nicht $ a\in Z $). Punkt a) unter 4. Wie benutze ich...? verrät uns, wie wir eine solche "und"-Aussage verwenden können: Wir betrachten sowohl (nicht $ a\in Y $) als auch (nicht $ a\in Z $) als zusätzliche Voraussetzungen, unter denen wir weiterargumentieren.  Damit haben wir schon alle Aussagen, die wir für unsere gerade betrachtete Teilmengenbeziehung benötigen.

Kommen wir nun zum Hauptteil des Nachweises von $ (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)=X\setminus (Y\cup Z) $. Wir haben hier als zusätzliche Voraussetzung $ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $. Das bedeutet: $ a\in X\setminus Y $ und $ a\in X\setminus Z $. Punkt a) unter 4. Wie benutze ich...? verrät uns wieder, wie wir eine solche "und"-Aussage verwenden können: Wir betrachten sowohl $ a\in X\setminus Y $ als auch $ a\in X\setminus Z $ als zusätzliche Voraussetzungen, unter denen wir weiterargumentieren. $ a\in X\setminus Y $ bedeutet $ a\in X $ und $ a\not\in Y $, $ a\in X\setminus Z $ bedeutet $ a\in X $ und $ a\not\in Z $. Wir haben also als zusätzliche Voraussetzungen, unter denen wir weiterargumentieren können: $ a\in X $, $ a\not\in Y $ und $ a\not\in Z $.

$ a\in X $ war auch zu zeigen. Außerdem ist die Annahme $ a\in Y\cup Z $ zum Widerspruch zu führen. $ a\in Y\cup Z $ bedeutet $ a\in Y $ oder $ a\in Z $. Punkt b) unter 4. Wie benutze ich...? legt uns für diese "oder"-Aussage eine Fallunterscheidung nach $ a\in Y $ bzw. $ a\in Z $ nahe. Falls $ a\in Y $ haben wir einen Widerspruch zu $ a\not\in Y $. Falls $ a\in Z $ haben wir einen Widerspruch zu $ a\not\in Z $. Also haben wir in allen Fällen einen Widerspruch hergeleitet und damit $ a\not\in Y\cup Z $ gezeigt.


Fertiger Beweis:

Zu zeigen ist, dass $ X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ gilt.

"$ \subseteq $":
Sei $ a\in X\setminus(Y\cup Z) $.
Zu zeigen ist $ a\in (X\setminus Y)\cap(X\setminus Z) $, d.h. $ a\in X\setminus Y $ und $ a\in X\setminus Z $.

Wegen $ a\in X\setminus(Y\cup Z) $ gilt $ a\in X $ und $ a\not\in Y\cup Z $.
Letzteres bedeutet (nicht $ a\in Y\cup Z $), also (nicht ($ a\in Y $ oder $ a\in Z $)), was (nicht $ a\in Y $) und (nicht $ a\in Z $) bedeutet, was sich wiederum als $ a\not\in Y $ und $ a\not\in Z $ schreiben lässt.

Wegen $ a\in X $ und $ a\not\in Y $ gilt $ a\in X\setminus Y $.
Wegen $ a\in X $ und $ a\not\in Z $ gilt $ a\in X\setminus Z $.

Somit gilt $ a\in (X\setminus Y)\cap(X\setminus Z) $.
Da $ a\in X\setminus(Y\cap Z) $ beliebig war, folgt $ X\setminus(Y\cup Z)\subseteq (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $.

"$ \supseteq $":
Sei $ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $.
Zu zeigen ist $ a\in X\setminus (Y\cup Z) $, d.h. $ a\in X $ und $ a\not\in Y\cup Z $.

Wegen $ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ gilt $ a\in X\setminus Y $ und $ a\in X\setminus Z $.
$ a\in X\setminus Y $ bedeutet $ a\in X $ und $ a\not\in Y $.
$ a\in X\setminus Z $ bedeutet $ a\in X $ und $ a\not\in Z $.

Da $ a\in X $ somit gezeigt ist, bleibt nur noch $ a\not\in Y\cup Z $ zu zeigen.
Angenommen $ a\in Y\cup Z $.
Dann gilt $ a\in Y $ oder $ a\in Z $.
Falls $ a\in Y $, haben wir einen Widerspruch zu $ a\not\in Y $.
Falls $ a\in Z $, haben wir einen Widerspruch zu $ a\not\in Z $.
Also haben wir in jedem Fall einen Widerspruch.
Also war unsere Annahme $ a\in Y\cup Z $ falsch und somit gilt $ a\not\in Y\cup Z $.

Somit gilt $ a\in X\setminus (Y\cup Z) $.
Da $ a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ beliebig war, folgt $ (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)\subseteq X\setminus(Y\cup Z) $.

Damit ist $ X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z) $ gezeigt.

Letzte Änderung: Sa 10.11.2012 um 21:32 von tobit09
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