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FunktionentheorieSkript2

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FunktionentheorieSkript2

$\leftarrow$ §1 Komplexe Zahlen und Polynome $\uparrow$ Inhaltsverzeichnis $\rightarrow$ §3 Komplexes Kurvenintegral

§2 Komplex differenzierbare Funktionen

sei offene Teilmenge von $\IC$ , $a\in\IC$ , $f:\ D\to\IC$ Funktion
Def heißt komplex differenzierbar im Punkt , wenn gilt:
$\limes_{\stackrel{0\not=h\to 0}{h\in\IC,\ a+h\in D}} \bruch{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)$ existiert in $\IC$ .
Man nennt dann diesen Grenzwert die komplexe Ableitung von im Punkt und bezeichnet sie oft mit .

Bem $\lambda\in\IC$
$\limes_{0\not=h\to0} \bruch{1}{h}\left( f(a+h)-f(a)\right)=\lambda$ bedeutet:
Ist $(h_n)_{n\ge 0}$ Folge, $h_n\in\IC$ , $h_n\not=0\ \forall n$ , $a+h_n\in D\ \forall n$ , so ist $\limes_{n\to\infty}\bruch{1}{h_n}\left(f(a+h_n)-f(a)\right)=\lambda$

Übg $x=\operatorname{Re}:\ \IC\to\IC$
$\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{1/n}\left( x\left(a+\bruch{1}{n}\right)-x(a)\right)=\limes_{n\to\infty}\bruch{1}{1/n}(1/n)=1$
$\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{i/n}\left( x\left(a+\bruch{i}{n}\right)-x(a)\right)=0$
d.h. x ist nicht komplex differenzierbar in $a\in\IC$ ( $\forall a\in\IC$ ).

$y=\operatorname{Im}:\ \IC\to\IC$
y ist nicht komplex differenzierbar in $a\in\IC$ ( $\forall a\in\IC$ )

Übg $z=\operatorname{id}_{\IC}:\ \IC\to\IC$
z komplex differenzierbar in a mit ( $\forall a\in\IC$ )

Es gilt: Es sei $\varepsilon>0$ mit $D_{\varepsilon}(a):=\left\{\lambda\in\IC\ :\ |\lambda-a|<\varepsilon\right\}\subseteq D$
Es sei $q: D_{\varepsilon}(0)\to\IC$
gegeben durch $q(h)=\begin{cases} \bruch{1}{h}(f(a+h)-f(a)) & h\not=0 \\ \lambda & h=0\end{cases}$
Dann gilt:
$\limes_{\stackrel{0\not=h\to 0}{h\in\IC,\ a+h\in D}} \bruch{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)=\lambda\ \gdw\ q$ ist stetig.

Es gilt: $f:\ D\to\IC$ , $a\in D$ , f komplex differenzierbar in a.
$\Rightarrow$ $\bruch{\partial f}{\partial x}(a)$ und $\bruch{\partial f}{\partial y}(a)$ existieren in $\IC$ und

$\bruch{\partial f}{\partial x}(a)=\bruch{1}{i}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x}(a)$

Weiter gilt: $f'(a)=\bruch{\partial f}{\partial x}(a)$ wobei die komplexe Ableitung von f im Punkt a ist.

Def f heiße komplex differenzierbar, wenn gilt: $\forall a\in D$ ist f komplex differenzierbar in a[/mm]

Def Ist f komplex differenzierbat, so ist die komplexe Ableitung f' von f die Funktion, die $a\in D$ auf f'(a) abbildet (es ist $f': D\to\IC$ .

Übg Sei $m=\pmatrix{a & b\\c & d}\in\IR^{2\times 2}$ und
Frage: Für welche m ist komplex differenzierbar?

$\bruch{\partial g_m}{\partial x}=a+ic$ , $\bruch{\partial g_m}{\partial y}=b+id}$

Wenn komplex differenzierbar
$\Rightarrow$ (Cauchy-Riemann-Bedingung) $\bruch{\partial g_m}{\partial x}=\bruch{1}{i}\cdot{}\bruch{\partial g_m}{\partial y}$
$\Rightarrow$ $a+ic=\bruch{1}{i}(b+id)$
$\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $m=\pmatrix{a & b\\-b & a}$

Sei a=d, b=-c
$\Rightarrow$ $\alpha=\uderbrace{(a-ib)}_{a+ic}\in\IC$
$\Rightarrow$ $g_m=\alpha\cdot{}z$ , da (a+ic)(x+iy)=(ax-cy)+i(cx+ay)
$\Rightarrow$ $g_m'=\alpha$

Bsp komplexe Exponentialfunktion
$\operatorname{exp}:=e^x\cdot{}\left( \cos y+i\sin y\right):\ \IC\to\IC$
Es gilt: $\exp$ ist komplex differenzierbar. Die komplexe Ableitung $\exp'$ von $\exp$ ist $\exp$ .

Bsp komplexer Logarithmus
$D:=\IC\setminus\left\{r\in\IR\ :\ r\le 0\right\}$
Es gilt: Es existiert eine eindeutig bestimmte Funktion $\overbrace{\phi}^{=\arg}:\ D\to\IR$ mit
$-\pi<\phi(\lambda)<+\pi$ $\forall \lambda\in D$
$\lambda=|\lambda|(\cos\phi(\lambda)+i\sin\phi(\lambda))$

Es sei $\log:\ D\to\IC$ gegeben durch $\log\lambda:=\log|\lambda|+i\phi(\lambda)$
Es gilt: $\log$ ist komplex differenzierbar, $\log'=\bruch{1}{z}$

Satz 1 Es seien $f,g:\ D\to\IC$ , $a\in D$
Dann gilt:
(i) Sind f,g komplex differenzierbar in a, so sind

$f+g, f\cdot{}g$

komplex differenzierbar in a und

$(f\cdot{}g)'(a)=f(a)\cdot{}g'(a)+f'(a)\cdot{}g(a)$

(ii) Hat f keine Nullstelle in D und ist f komplex differenzierbar in a, so ist $\bruch{1}{f}$ komplex differenzierbar in a und

$\left(\bruch{1}{f}\right)'(a)=\bruch{-f'(a)}{f^2(a)}$

Übg
$f=\summe_{k=0}^{n} a_k z^k\in\IC[z]$ , $a_k\in\IC$
f komplex differenzierbar und die komplexe Ableitung f' ist gleich

$\summe_{k=1}^{n} ka_k z^{k-1}$

Korollar D offen in $\IC$ , D zusammenhängend, $f:\ D\to\IC$ komplex differenzierbar mit f'=0 (f' komplexe Ableitung von f)
$\Rightarrow$ f ist konstante Funktion

Übg Es gibt genau eine komplex differenzierbare Funktion $f:\ \IC\to\IC$ mit

Übg Es existiert genau eine komplex differenzierbare Funktion $f:\ \IC\to\left\{ r\in\IR\ :\ r\le 0\right\}\to\IC$ mit

$f'=\bruch{1}{z}$

Bem $L:\ \IC\setminus\left\{ir\ :\ r\ge0\right\}\to\IC$ , $L(\lambda)=?$
Sei $\lambda\in D'$
Es existiert genau ein $\phi(\lambda)\in\IR$ mit: $-\bruch{3}{2}\pi<\phi(\lambda)<\bruch{1}{2}\pi$ mit $\lambda=|\lambda|(\cos\phi(\lambda)+i\sin\phi(\lambda))$

$L(\lambda):=\log|\lambda|+i\phi(\lambda)$
Man kann zeigen: L komplex differenzierbar $L'=\bruch{1}{z}$

Satz 2 Es seien offene Teilmengen von $\IC$ , $\phi:\ D\to D'$ , $\psi:\ D'\to D''$ Abbildungen, $a\in D$
(i) Wenn $\phi$ komplex differenzierbar in a, $\psi$ komplex differenzierbar in $\phi(a)$ , so ist $(\psi\circ\phi)$ komplex differenzierbar in a und

$(\psi\circ\phi)'(a)=\psi'(\phi(a))\cdot{}\phi'(a)$

(ii) Wenn , $\phi$ bijektiv und $\psi\circ\phi=\operatorname{id}_D$ (d.h. $\psi$ ist Umkehrabbildung von $\phi$ ), $\phi$ komplex differenzierbar in a, $\phi'(a)\not=0$ , so ist $\psi$ komplex differenzierbar in $\phi(a)$ und

$\psi'(\phi(a))=\bruch{1}{\phi'(a)}$

Übg $\exp(\lambda_1+\lambda_2)=\exp(\lambda_1)\exp(\lambda_2)$ $\forall \lambda_1,\lambda_2\in\IC$

Übg
$\cos z=\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
$\sin z=\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
$\cos'=-\sin$
$\sin'=\cos$

Es sei $f:\ D\to\IC$ , $a\in D$
Def f heißt reell differenzierbar in a, wenn gilt:
Es gibt eine reell-lineare Abbdildung $\phi:\ \IC\to\IC$ mit: $\limes_{\stackrel{0\not=h\to 0}{a+h\in D}} \bruch{1}{|h|}\left( f(a+h)-f(a)-\phi(h)\right)=0$
Es gilt: $\phi$ ist durch f und a eindeutig bestimmt und heißt reelle Ableitung $\mathrm{d}f(a)$ von f in a
Es gilt: $\mathrm{d}f(a)(1)=\bruch{\partial f}{\partial x}(a)$ $1=\vektor{1\\0}$
$\mathrm{d}f(a)(i)=\bruch{\partial f}{\partial y}(a)$ $i=\vektor{0\\1}$

Satz 3 (Cauchy-Riemann)
Es sei D offen in $\IC$ , $f:\ D\to\IC$ , $a\in D$
Dann gilt: f komplex differenzierbar in a $\gdw$ f reell differenzierbar und $\bruch{\partial f}{\partial x}(a)=\bruch{1}{i} \bruch{\partial f}{\partial y}(a)$

Bem $u:=\operatorname{Re}(f), v:=\operatorname{Im}(f):\ D\to\IR$

$\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{i} \bruch{\partial f}{\partial y}\ \gdw\ \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}, \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}$

Zusatz zu Satz 3: Ist $f:\ D\to\IC$ stetig partiell differenzierbar in D (d.h. $\bruch{\partial f}{\partial x}, \bruch{\partial f}{\partial y}$ sind stetig in D), so ist f reell differenzierbar in D.

Übg $\exp$ ist komplex differenzierbar

Bsp $\exp$ als Abbildung
$P:=\left\{\lambda\in\IC\ :\ -\pi<\operatorname{Im}\lambda<+\pi\right\}$
Es gilt: $\exp(P)=\IC\setminus\left\{r\in\IR\ :\ r\le 0\right\}$

Es gilt:

$\log\circ\exp|_P=\operatorname{id}_P$

$\exp|_P\circ\log=\operatorname{id}_D$

Es gilt:

$\log'=\bruch{1}{z}|_D$

Es sei $a=(a_n)_{n\ge 0}$ Folge, $a_n\in\IC$

$K(a):=\left\{r\in\IR\ :\ r\ge0, \limes_{n\to\infty} a_n r^n=0\right\}\ni 0$

bzw.

$K(a):=\left\{r\in\IR\ :\ r\ge0, \limes_{n\to\infty} |a_n| r^n=0\right\}\ni 0$

Es gilt: $K(a)=\lbrack 0,+\infty)$ oder es gibt $R(a)\in\IR$ , mit $K(a)=\begin{cases}\lbrack0,R(a)\rbrack & \\\lbrack0,R(a)) &\end{cases}$

Man setzt $R(a)=+\infty$ , wenn $K(a)=\lbrack0,+\infty)$ und nennt R(a) den Konvergenzradius von a

Übg $a_n=1\ \forall n\ \Rightarrow K(a)=\lbrack 0,1)$
$a_n=n^n\ \forall n\ \Rightarrow K(a)=\{0\}$
$a_n=\bruch{1}{n^2}\ \forall n\ \Rightarrow K(a)=\lbrack 0,1\rbrack$

Übg $a=(a_n)_{n\ge 0}$ , $a_n\in\IC$
$a'=(a'_n)_{n\ge 0}$ , $a'_n=(n+1)a_{n+1}$
Es gilt:

^Satz 4 Es sei $a=(a_n)_{n\ge 0}$ komplexe Zahlenfolge mit .
Dann gilt:
(i) Es gibt genau eine Funktion $f:\ D_{R(a)}:=\left\{\lambda\in\IC\ :\ |\lambda|<R(a)\right\}\to\IC$ mit:
Ist und $f_n=\summe_{k=0}^{n} a_k z^k$ , so konvergiert $(f_n)_{n\ge 0}$ gleichmäßig auf $\overline{D_r}:=\left\{\lambda\in\IC\ :\ |\lambda|\le r\right\}$ gegen f.
Man schreibt $f=\summe_{k=0}^{\infty} a_k z^k$
(ii) f ist komplex differenzierbar und $f'=\summe_{k=0}^{\infty} a_{k+1}(k+1) z^k$

Bem heißt auch Konvergenzradius der formalen Potenzreihe $\summe_{k=0}^{\infty} a_k z^k$

Bsp Sei $a_n=\bruch{1}{n!}$ für $n\ge 0$
$\Rightarrow$ $R(a)=+\infty$

$f=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}$ komplex differenzierbare Funktion auf $\IC$ (Satz 4)
$f'=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k!}z^{k-1}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^{k-1}}{(k-1)!}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}=f$ (Satz 4 (ii))
$\Rightarrow$ $f=\exp$

Bsp $a=(a_n)_{n\ge 0}$ mit $a_n=-\bruch{(-1)^n}{n}$ für $n\ge 1$ ,

$f=-\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} z^n$ komplex differenzierbar auf

$f'=-\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n}\cdot{}n\cdot{}z^{n-1}=\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} z^{n-1}=\summe_{n=0}^{\infty} (-z)^n$
Beh $f'=\bruch{1}{1+z}|_{D_1}$

$\left(\log(1+z)|_{D_1}\right)'=\bruch{1}{1+z}$ , $\log(1+0)=0$ , $\Rightarrow$ $f=\log(1+z)|_{D_1}$

Bem Es sei $\lambda\in\IC$ , $|\lambda|>R(a)$
$\Rightarrow$ Die Folge $(f_n(\lambda))_{n\ge 0}$ konvergiert nicht in $\IC$

$\leftarrow$ §1 Komplexe Zahlen und Polynome $\uparrow$ Inhaltsverzeichnis $\rightarrow$ §3 Komplexes Kurvenintegral

Erstellt: So 13.03.2005 von Marc

Letzte Änderung: Mi 08.06.2005 um 10:38 von Marc

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