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Tangens
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Tangens

Definition Tangens und Tangensfunktion


Schule


Definition am rechtwinkligen Dreieck

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:


{picture file=img/wiki_up//RechtwinkligesDreieck.jpg}

Dabei nennt man die Strecke $ \overline{AC} $ die Ankathete zum Winkel $ \alpha $
und die Strecke $ \overline{BC} $ die Gegenkathete zum Winkel $ \alpha $.


$ \sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

{picture file=img/wiki_up//Einheitskreis.png}

Den tan-Wert liest man ab, indem man am Einheitskreis den Winkel abträgt und diese schräge Strecke verlängerst bis zu der vertikalen Gerade bei x = 1.
Die Länge dieser vertikalen Strecke (grüne Strecke) ist der tan-Wert.

Der tan-Wert ist einheitenfrei, d.h. ohne Einheit (so wie sin und cos auch).
Lediglich der Winkel $ \alpha $ wird i.a. im Gradmaß und  x  im Bogenmaß angegeben.

weitere Überlegungen zu Sinus- und Kosinusfunktion

Aus der Definition des Tangens ergibt sich unmittelbar die zugehörige Funktion, bei der x im Bogenmaß angegeben wird:

$ \tan(x) = \bruch{\sin (x)}{\cos (x)} $


{picture file=img/wiki_up//tangens.jpg}

Ebenso ergeben sich die weiteren Eigenschaften der Tangensfunktion:

  • die Tangensfunktion ist an den Nullstellen der Kosinusfunktion nicht definiert:
  • Wertebereich: alle reellen Zahlen $ \IR $
  • die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $ \pi $.
  • die Tangensfunktion ist über den gesamten Definitionsbereich betrachtet nicht symmetrisch,
    • wohl aber, wenn man sich auf ein Intervall zwischen zwei Unstetigkeitsstellen einschränkt,
    • dann ist sie punktsymmetrisch zu ihrer Nullstelle, insbesondere über dem Intervall $ [-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}] $ symmetrisch zum Ursprung.

Ableitung der Tangensfunktion
ergibt sich aus der Definition $ f(x) = \tan(x) = \bruch{\sin (x)}{\cos (x)} $ mit Hilfe der Quotientenregel:

$ f'(x) = \left(\bruch{\cos (x)}{\sin(x)}\right)'= \bruch{\cos (x)\cdot{}\cos (x)-(-\sin(x))\cdot{}\sin(x)}{\cos^2 (x)} = 1 + \tan^2(x) = \bruch{1}{\cos^2 (x)} $

Stammfunktion der Tangensfunktion

$ \integral {\tan(x) dx} = - \ln(\cos(x)) + C $



Universität


Definition/Darstellung als Potenzreihe

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Tangens):
$ \tan(x)=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots $

Bild1 Rechtwinkliges Dreieck aus [link]Wikipedia
weitere Überlegungen zu Sinus- und Kosinusfunktion

Erstellt: Mo 17.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Sa 27.01.2007 um 17:36 von Marc
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