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Winkelfunktion
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Winkelfunktion

Definition Sinus(-funktion), Kosinus(-funktion), Tangens(-funktion)


Schule


Definition am rechtwinkligen Dreieck

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:


Bild:RechtwinkligesDreieck.jpg


$ \sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha} $


Dabei ist die Strecke $ \overline{AC} $ die Ankathete zum Winkel $ \alpha $
und die Strecke $ \overline{BC} $ die Gegenkathete zum Winkel $ \alpha $.



Definition am Einheitskreis

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras gilt: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, weil im Einheitskreis die Hypotenuse c = r = 1 ist.

Man kann diese Definition am rechtwinkligen Dreieck auf Winkel >90° erweitern, wenn man folgendes Bild2 betrachtet:


Bild:Einheitskreis.png

Durchläuft der Punkt C die Kreislinie, so kann man die zum Winkel $ \alpha $ (bei A) gehörenden Werte des Sinus $ \alpha $ und Kosinus $ \alpha $ in ein Koordinatenkreuz übertragen.


Sinusfunktion:


Bild:sinus.jpg


Kosinusfunktion:


Bild:cosinus.jpg

Man erkennt, dass sowohl der Sinus als auch der Kosinus stets Werte $ |y| \le 1 $ ergeben.
In den Zeichnungen sind die Winkel im Bogenmaß aufgetragen;
dabei gelten folgende Entsprechungen mit $ \pi $ = Kreiszahl = 3.1415926...:


$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\alpha \text{ im Gradmaß}&0°&30°&45°&60°&90°&180°&270°&360°\\\hline \text{b im Bogenmaß} &0& \bruch{\pi}{6}&\bruch{\pi}{4}&\bruch{\pi}{3}&\bruch{\pi}{2}&\pi&\bruch{3\pi}{2}&2\pi\\\hline\hline \sin \alpha &0& \bruch{1}{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha & \bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}&0&-1&0&1\end{array} $

Man erkennt weiter, dass sich nach einer Umdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) die Werte für den Sinus und den Kosinus wiederholen: beide Funktionen sind periodisch mit der Periodenlänge $ 2\cdot{}\pi $.
Daher kann man die Sinus- und die Kosinusfunktion auch für Werte > 90° sinnvoll definieren.

Natürlich kann man den Punkt C auch mit dem Uhrzeiger auf dem Kreis wandern lassen:
dann bezeichnet man einfach die entstehenden Winkel als negative Größen.
Damit ist also festgestellt, dass der Definitionsbereich beider Funktionen ganz $ \IR $ ist.

weitere Eigenschaften der Winkelfunktionen


Universität


Definition/Darstellung als Potenzreihe

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Sinus):
$ \sin x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Kosinus):
$ \cos x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!} $



Weitere Beziehungen

$ \sin(x)=\bruch{1}{2j}\cdot{}\big(e^{jx}-e^{-jx}\big) $

$ \cos(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}\big(e^{jx}+e^{-jx}\big) $


Bild1 Rechtwinkliges Dreieck aus [link]Wikipedia
weitere Überlegungen zur Tangensfunktion

Erstellt: So 05.09.2004 von Marc
Letzte Änderung: Do 28.01.2010 um 22:38 von Herby
Weitere Autoren: Hanno, informix, Loddar, M.Rex
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