www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Benutzer:tobit09/Stochastik4
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Benutzer:tobit09/Stochastik4
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Benutzer:tobit09/Stochastik4

Stochastisches Modellieren für Einsteiger

$ \leftarrow $ 3. Zähldichten p und Wahrscheinlichkeits-Verteilungen P $ \uparrow $ Inhaltsverzeichnis

4. Zufallsvariablen $ X $


a) Zufallsvariablen $ X $


Unter einer Zufallsvariable zu einem stochastischen Vorgang in der realen Welt wollen wir etwas verstehen, was je nach Ausgang des stochastischen Vorganges einen Wert annimmt. Beispiele wären "Augensumme" oder "Augenzahl des ersten Würfels" beim zweifachen Würfelwurf.

Um von der zugehörigen mathematischen Zufallsvariable $ X $ sprechen zu können, benötigen wir zunächst eine Ergebnismenge $ \Omega $, die den stochastischen Vorgang beschreibt. Dann verstehen wir unter der mathematischen Zufallsvariable $ X $ die Zuordnung (Abbildung), die jedem Ergebnis $ \omega\in\Omega $ den Wert zuordnet, den die Zufallsvariable aus der realen Welt bei Eintreten von Ausgang $ \omega $ annimmt.


Beispiel: Zufallsvariablen "Augensumme" und "Augenzahl des ersten Würfels" beim zweifachen Würfelwurf

$ \Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}^2 $

Bei Eintreten eines Ergebnisses $ (\omega_1,\omega_2)\in\Omega $ nimmt die Zufallsvariable "Augensumme" den Wert $ \omega_1+\omega_2 $ und die Zufallsvariable "Augenzahl des ersten Würfels" den Wert $ \omega_1 $ an. Die angenommenen Werte sind jeweils natürliche Zahlen.

Die zugehörigen mathematischen Zufallsvariablen lauten also

    $ S\colon\Omega\to\IN,\quad S((\omega_1,\omega_2)):=\omega_1+\omega_2 $

bzw.

    $ X\colon\Omega\to\{1,2,3,4,5,6\},\quad X((\omega_1,\omega_2)):=\omega_1 $.


Aufgabe 10: Beim Glücksrad mit den Feldern Niete, Trostpreis und Hauptpreis habe der Trostpreis einen Wert von 1 Euro und der Hauptpreis einen Wert von 10 Euro. Die Niete ist natürlich 0 Euro wert. Geben Sie die Zufallsvariable "Wert des Gewinns in Euro" als Abbildung an.

Lösungsvorschlag



b) Beschreibung von Ereignissen mit Zufallsvariablen


Beispiel: Ereignis "Augensumme=4" beim zweifachen Würfelwurf

$ \Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}^2 $

Sei $ S $ wie oben die Abbildung, die die Zufallsvariable "Augensumme" beschreibt. Dann tritt das Ereignis "Augensumme=4" bei Ausgang $ \omega\in\Omega $ genau dann ein, wenn $ S(\omega)=4 $ gilt. Damit lässt sich das Ereignis "Augensumme=4" schreiben als

   $ E:=\{\omega\in\Omega\;|\;S(\omega)=4\} $.

(Es gilt $ E=\{(1,3),(2,2),(3,1)\} $.)

Wir schreiben als abkürzende Notation $ \{S=4\} $ für dieses Ereignis.


Genauso können wir für beliebige Zufallsvariablen $ X $ (die Zahlen als Werte annehmen) Ereignisse wie

    $ E_1:=\{X=4\} $
    $ E_2:=\{X\le7\} $
    $ E_3:=\{X\in\{2,4,6\}\} $

erklären. Sie stehen dafür, dass $ X $ den Wert 4 bzw. einen Wert $ \le 7 $ bzw. einen Wert $ \in\{2,4,6\} $ annimmt. Mathematisch handelt es sich dabei um die Mengen

    $ E_1=\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=4\} $
    $ E_2=\{\omega\in\Omega;\;X(\omega)\le7\} $
    $ E_3=\{\omega\in\Omega;\;X(\omega)\in\{2,4,6\}\} $.


Aufgabe 11: Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse mithilfe von Zufallsvariablen. Geben Sie dazu jeweils sowohl die abkürzende Notation als auch deren Bedeutung an.
(i) "Zuerst eine 6 gewürfelt" beim zweifachen Würfelwurf
(ii) "keine Niete" beim Glücksrad aus Aufgabe 10 (mithilfe der Zufallsvariable "Wert des Gewinns in Euro" aus Aufgabe 10)

Lösungsvorschlag

Erstellt: Do 29.11.2012 von tobit09
Letzte Änderung: Do 29.11.2012 um 17:22 von tobit09
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]